Calculatrice du critère de stabilité de Routh–Hurwitz
Saisissez vos valeurs. La réponse et la solution détaillée se mettent à jour pendant la saisie.
Résultat
| colonne 1 | colonne 2 | colonne 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
Vérifiez la stabilité d’un système linéaire à partir de son polynôme caractéristique. La calculatrice construit le tableau de Routh avec des fractions exactes, traite un zéro dans la première colonne (méthode de ε) et une ligne de zéros (polynôme auxiliaire), compte les changements de signe et donne le nombre de racines dans le demi-plan droit, sur l’axe imaginaire et dans le demi-plan gauche.
Corrigé pas à pas
Polynôme caractéristique
Deux premières lignes
Lignes suivantes
Comptez les changements de signe dans la première colonne
Formules clés
- Stabilité
- toutes les racines du polynôme caractéristique dans le demi-plan gauche
- tableau de Routh, élément s¹ d’un polynôme cubique
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Racines dans le demi-plan droit
- nombre de changements de signe dans la première colonne
- Polynôme cubique s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- stable lorsque tous les a > 0 et a₂·a₁ > a₀
- Équation caractéristique
- 1 + K·G(s) = 0
Comment utiliser le critère de Routh–Hurwitz
- Écrivez le polynôme caractéristique avec toutes les puissances de s à partir de la plus haute. Si un coefficient manque ou si les signes diffèrent, le système ne peut pas être stable.
- Remplissez la première ligne avec les coefficients 1er, 3e, 5e, … et la deuxième ligne avec les coefficients 2e, 4e, 6e, ….
- Chaque élément suivant est (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, à partir des deux lignes situées au-dessus.
- Si un premier élément est nul mais que la ligne ne l’est pas, remplacez-le par un petit ε > 0. Si toute une ligne est nulle, remplacez-la par la dérivée du polynôme auxiliaire formé à partir de la ligne précédente.
- Le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de racines dans le demi-plan droit.
Questions et réponses
Que signifie une ligne de zéros ?
Le polynôme a des racines symétriques par rapport à l’origine : des paires ±a, ±jω, ou des quadruplets. Le polynôme auxiliaire de la ligne précédente contient exactement ces racines, et ses racines sur l’axe imaginaire rendent le système au mieux marginalement stable.
La méthode de ε est-elle toujours fiable ?
Pas quand des racines se trouvent sur l’axe imaginaire. La calculatrice sépare donc aussi le facteur commun de P(s) et P(−s), qui contient toutes les racines symétriques, et compte exactement ses racines sur l’axe imaginaire. Si cela modifie le décompte, les étapes l’indiquent.
Comment trouver la plage de K pour la stabilité ?
Mettez le gain K dans les coefficients, construisez le tableau de façon symbolique et exigez que chaque élément de la première colonne soit positif. Cette calculatrice travaille avec des nombres : vous pouvez donc l’utiliser pour vérifier une valeur de K de part et d’autre de la limite trouvée.
Un tableau de Routh stable signifie-t-il une bonne conception ?
Il indique seulement que tous les pôles sont dans le demi-plan gauche. La rapidité et l’amortissement de la réponse dépendent de la position des pôles ; utilisez pour cela le lieu des racines ou un diagramme de Bode.
Entraînez-vous
S’entraîner : Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.