Systèmes de numération : exercices corrigés pas à pas

1Ce qu’est un système de numération

Dans la vie courante, vous comptez en décimal, base 10. Il a dix chiffres, de 0 à 9, et chaque rang vaut dix fois le rang à sa droite.

Dans 352, le 3 vaut 300, le 5 vaut 50 et le 2 vaut 2. Les rangs valent 1, 10, 100 en partant de la droite.

Un ordinateur stocke tout sous forme d’interrupteurs allumés ou éteints. Il compte donc en binaire, base 2, avec seulement les chiffres 0 et 1.

Un chiffre binaire est un bit. Un groupe de 8 bits est un octet.

La règle est la même dans toutes les bases : chaque chiffre vaut sa valeur multipliée par une puissance de la base.

2Binaire et hexadécimal

En binaire, les rangs valent 1, 2, 4, 8, 16, et ainsi de suite, en partant de la droite. Chaque rang vaut deux fois le rang à sa droite.

Pour un nombre de 8 bits, les rangs valent 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 et 1.

Pour lire un nombre binaire, additionnez les valeurs des rangs de chaque bit égal à 1. Pour 0011 0010, cela donne 32 + 16 + 2 = 50.

Les longues suites de bits sont difficiles à lire. Les programmeurs les écrivent souvent plutôt en hexadécimal (hex), base 16.

L’hexadécimal demande 16 chiffres. Il utilise de 0 à 9, puis les lettres A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 et F = 15.

Les rangs hexadécimaux valent 1, 16, 256 et 4096, en partant de la droite. Un nombre hexadécimal s’écrit souvent avec 0x devant, par exemple 0x2F.

Un chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits, donc 0011 0010 est 0x32 : 0011 est 3 et 0010 est 2.

3Nombres négatifs : le complément à deux

Un octet dont tous les rangs sont positifs stocke de 0 à 255. On dit qu’il est non signé.

Pour stocker des nombres négatifs, les ordinateurs utilisent le complément à deux. Le seul changement est que le bit le plus à gauche vaut −128 au lieu de +128.

Ainsi 1000 0011 vaut −128 + 2 + 1 = −125. Le bit le plus à gauche s’appelle le bit de signe : quand il vaut 1, le nombre est négatif.

Un nombre en complément à deux sur 8 bits va de −128 (1000 0000) à +127 (0111 1111).

Pour écrire un nombre négatif −x, partez de +x en binaire, inversez chaque bit (0 devient 1, 1 devient 0) et ajoutez 1.

Exemple pour −5 : 5 s’écrit 0000 0101. Inversé, cela donne 1111 1010. En ajoutant 1, on obtient 1111 1011.

Le même motif lu comme non signé a la valeur 256 − x. Pour −5, cela fait 251, et 1111 1011 vaut bien 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251.

4La méthode pas à pas

Du binaire ou de l’hexadécimal au décimal :

1. Écrivez la valeur du rang sous chaque chiffre : puissances de 2 pour le binaire, puissances de 16 pour l’hexadécimal, en commençant par 1 à droite.
2. En hexadécimal, remplacez chaque lettre par sa valeur : A = 10 jusqu’à F = 15.
3. Multipliez chaque chiffre par la valeur de son rang et additionnez le tout.

Complément à deux :

1. Pour lire un motif, donnez au bit le plus à gauche la valeur −128 (sur 8 bits) et additionnez les valeurs des rangs de tous les bits à 1.
2. Pour écrire −x, écrivez +x sur 8 bits, inversez chaque bit et ajoutez 1.
3. La valeur non signée de ce motif est 256 − x. Servez-vous-en pour vérifier vos bits.

Bits, plages de valeurs et mémoire :

1. n bits donnent 2ⁿ motifs différents.
2. Non signés, ils stockent de 0 à 2ⁿ − 1. En complément à deux, ils stockent de −2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹ − 1.
3. Pour donner à k éléments leur propre code, trouvez le plus petit b tel que 2^b ≥ k.
4. Pour la mémoire, multipliez le nombre d’éléments par le nombre de bits par élément, puis divisez par 8 pour obtenir des octets et par 1024 pour obtenir des KiB.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

6Erreurs fréquentes

• Oublier d’ajouter 1 après avoir inversé les bits. Vous obtenez un résultat trop bas de un.
• Lire un motif en complément à deux comme non signé, par exemple 1111 1111 comme 255 au lieu de −1.
• Traiter le bit de signe comme un signe moins devant les autres bits. En complément à deux, il vaut −128.
• Donner les rangs dans le mauvais ordre. Le rang qui vaut 1 est toujours à droite.
• Utiliser A = 11 en hexadécimal. Les lettres commencent à A = 10.
• Mélanger bits et octets dans les questions de mémoire. Divisez le nombre de bits par 8.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

• Facile : du binaire et de l’hexadécimal au décimal. Convertissez un nombre binaire de 8 bits ou un nombre hexadécimal à 3 chiffres en décimal.
• Moyen : complément à deux. Lisez la valeur d’un motif signé de 8 bits, ou écrivez un nombre négatif sous forme de motif et donnez sa valeur non signée.
• Difficile : bits, plages de valeurs et mémoire. La plus grande ou la plus négative valeur qui tient sur n bits, le nombre de bits nécessaires pour k codes, ou la mémoire occupée par une image.

Exemple de question difficile : une image de 256 × 256 avec 24 bits par pixel occupe 256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB.