Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Trouvez la limite L = limx→∞ (√(x2 − 3x) − x).
Trouvez la limite L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(2x), avec x en radians.
Soit f(x) = x3·ex. Calcule f′(1,5).
Soit f(x) = x3 − 10,5x2 + 36x + 2. Trouve l'abscisse x du minimum local.
Une boîte de conserve cylindrique fermée (avec un couvercle et un fond) doit contenir 1000 cm³. La quantité de métal utilisée est proportionnelle à l’aire totale. Trouvez la plus petite aire possible A.
Une entreprise vend q unités par semaine. Le prix auquel elle peut les vendre est p = 70 − 0,25q euros par unité, et le coût vaut C(q) = 1800 + 10q euros. Trouvez le prix p qui maximise le bénéfice.
La région sous y = 3x de x = 0 à x = 1 tourne autour de l’axe des x. Trouvez le volume V du solide (un cône).
Calcule l'aire A du domaine entre la parabole y = 1 − x² et l'axe des x.
Réponse: L = −1,5
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
Réponse: L = 2
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
Réponse: f′(1.5) = 45,38
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
Réponse: x = 4
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
f″(x) = 6x − 21 : négative en un maximum, positive en un minimum.
Réponse: A = 553,6 cm²
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, c’est donc un minimum.
La boîte fermée la plus économique est aussi haute que large : h = 2r.
Réponse: p = 40 €
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
P″(q) = −0,5 < 0, c’est donc un maximum.
Réponse: V = 9,425
Volumes de révolution : la rotation autour de l’axe des x de la région sous y = f(x), de x = a à x = b, engendre un solide dont la section en x est un disque de rayon f(x). La somme des disques donne V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Lorsque la région est comprise entre une courbe extérieure R(x) et une courbe intérieure r(x), chaque tranche est une rondelle : V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Élevez les rayons au carré avant de les soustraire.
Vérification : un cône de rayon 3 et de hauteur 1 a (1/3)πr²h = 9,425.
Réponse: A = 1,333
Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.
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