Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Trouvez la limite L = limx→∞ (√(9x2 + 3x) − 3x).
Trouvez la limite L = limx→0 (1 − cos 5x)/(4x²), avec x en radians.
Soit f(x) = x·sin(x), avec x en radians. Calcule f′(1).
Soit f(x) = x3 − 10,5x2 + 30x − 1. Trouve l'abscisse x du minimum local.
Une boîte de conserve cylindrique fermée (avec un couvercle et un fond) doit contenir 330 cm³. La quantité de métal utilisée est proportionnelle à l’aire totale. Trouvez la plus petite aire possible A.
Une petite entreprise vend son produit au prix de marché fixe de 35 € par unité. Produire q unités coûte C(q) = 800 + 12q + 0,1q² euros. Trouvez le bénéfice maximal P.
Calculez I = ∫₁4 x·ln x dx.
La région entre la droite y = 5x et la parabole y = 3x² tourne autour de l’axe des x. Trouvez le volume V du solide.
Réponse: L = 0,5
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
Réponse: L = 3,125
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
Réponse: f′(1) = 1,382
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
Réponse: x = 5
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
f″(x) = 6x − 21 : négative en un maximum, positive en un minimum.
Réponse: A = 264,4 cm²
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, c’est donc un minimum.
La boîte fermée la plus économique est aussi haute que large : h = 2r.
Réponse: P = 522,5 €
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
P″(q) = −0,2 < 0, c’est donc un maximum.
Réponse: I = 7,34
Intégration par parties : ∫u·dv = u·v − ∫v·du, issue de la règle du produit. Choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (une puissance de x, ou ln x), et pour dv le facteur que vous savez intégrer (eˣ, sin x, cos x, ou x lorsque u = ln x). Pour une intégrale définie, évaluez u·v aux deux bornes : ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un facteur x² demande deux étapes.
Réponse: V = 48,48
Volumes de révolution : la rotation autour de l’axe des x de la région sous y = f(x), de x = a à x = b, engendre un solide dont la section en x est un disque de rayon f(x). La somme des disques donne V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Lorsque la région est comprise entre une courbe extérieure R(x) et une courbe intérieure r(x), chaque tranche est une rondelle : V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Élevez les rayons au carré avant de les soustraire.
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