Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Trouvez la limite L = limx→∞ (1 − 1/x)x. Donnez une valeur décimale.
Trouvez la limite L = limx→0 (e0,5x − 1 − 0,5x)/x².
Soit f(x) = x·sin(2x), avec x en radians. Calcule f′(1).
La tangente à f(x) = x2 + 4x + 3 en x = 2 coupe l'axe des y en y = b. Trouve b.
Une boîte ouverte (sans couvercle) à base carrée doit contenir 62500 cm³. Utilisez le moins de matière possible, c’est-à-dire la plus petite aire du fond plus les quatre côtés. Trouvez la hauteur h.
Une entreprise vend q unités par semaine. Le prix auquel elle peut les vendre est p = 90 − 0,2q euros par unité, et le coût vaut C(q) = 500 + 60q euros. Trouvez le prix p qui maximise le bénéfice.
Calcule I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx.
La région entre la droite y = x et la parabole y = 0,5x² tourne autour de l’axe des x. Trouvez le volume V du solide.
Réponse: L = 0,3679
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
ln(1 + u)/u → 1 quand u → 0, donc x·ln(1 + a/x) → a.
Réponse: L = 0,125
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
Réponse: f′(1) = 0,077
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
Réponse: b = −1
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
Réponse: h = 25 cm
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, c’est donc un minimum.
La meilleure boîte ouverte est deux fois moins haute que large.
Réponse: p = 75 €
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
P″(q) = −0,4 < 0, c’est donc un maximum.
Réponse: I = 3,75
Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.
Réponse: V = 3,351
Volumes de révolution : la rotation autour de l’axe des x de la région sous y = f(x), de x = a à x = b, engendre un solide dont la section en x est un disque de rayon f(x). La somme des disques donne V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Lorsque la région est comprise entre une courbe extérieure R(x) et une courbe intérieure r(x), chaque tranche est une rondelle : V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Élevez les rayons au carré avant de les soustraire.
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