Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Trouvez la limite L = limx→∞ (−x2 + 5x − 1)/(3x2 + 3x + 6).
Trouvez la limite L = limx→0 (1 − cos 5x)/(4x²), avec x en radians.
Soit f(x) = x2·e2x. Calcule f′(1,5).
La tangente à f(x) = 2x2 − x + 6 en x = 2 coupe l'axe des y en y = b. Trouve b.
Une boîte ouverte (sans couvercle) à base carrée doit contenir 62500 cm³. Utilisez le moins de matière possible, c’est-à-dire la plus petite aire du fond plus les quatre côtés. Trouvez la hauteur h.
Une petite entreprise vend son produit au prix de marché fixe de 75 € par unité. Produire q unités coûte C(q) = 700 + 22q + 0,5q² euros. Trouvez le bénéfice maximal P.
Calculez I = ∫₁2,5 x·ln x dx.
Calculez I = ∫₀2,5 x²·eˣ dx.
Réponse: L = −0,3333
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
À degrés égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants.
Réponse: L = 3,125
Limites : essayez d’abord la substitution directe. Si elle donne 0/0, simplifiez d’abord : factorisez et simplifiez le facteur commun, ou multipliez par l’expression conjuguée. Quand x → ∞, divisez le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de x. Règle de L'Hôpital : si f/g donne 0/0 ou ∞/∞, alors lim f/g = lim f′/g′, en dérivant séparément le numérateur et le dénominateur (pas avec la règle du quotient).
Réponse: f′(1.5) = 150,6
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
Réponse: b = −2
Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.
Réponse: h = 25 cm
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, c’est donc un minimum.
La meilleure boîte ouverte est deux fois moins haute que large.
Réponse: P = 704,5 €
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
P″(q) = −1 < 0, c’est donc un maximum.
Réponse: I = 1,551
Intégration par parties : ∫u·dv = u·v − ∫v·du, issue de la règle du produit. Choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (une puissance de x, ou ln x), et pour dv le facteur que vous savez intégrer (eˣ, sin x, cos x, ou x lorsque u = ln x). Pour une intégrale définie, évaluez u·v aux deux bornes : ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un facteur x² demande deux étapes.
Réponse: I = 37,59
Intégration par parties : ∫u·dv = u·v − ∫v·du, issue de la règle du produit. Choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (une puissance de x, ou ln x), et pour dv le facteur que vous savez intégrer (eˣ, sin x, cos x, ou x lorsque u = ln x). Pour une intégrale définie, évaluez u·v aux deux bornes : ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un facteur x² demande deux étapes.
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