Analyse 2 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Intégrales

Règle des puissances: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Intégrale définie: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Primitives usuelles: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Aire entre deux courbes: ∫_a^b (f − g) dx

Méthode

Réécrivez l’intégrande comme une somme de termes simples si possible.
Appliquez la règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), et les primitives usuelles de e^x, 1/x, sin et cos.
Utilisez un changement de variable quand une fonction et sa dérivée apparaissent ensemble.
Pour une intégrale définie, calculez F(b) − F(a).

Suites et séries

Suite arithmétique: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence: R = lim |c_k/c_k+1|
Polynôme de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Méthode

Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Analyse à plusieurs variables

Dérivées partielles: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradient: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Dérivée directionnelle: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plan tangent: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Dérivation en chaîne: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test des dérivées secondes: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Intégrale double: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordonnées polaires: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Méthode

Pour une dérivée partielle, traitez l’autre variable comme une constante et utilisez les règles à une variable.
Pour les questions de gradient, calculez ∇f = (f_x, f_y) au point ; utilisez |∇f| pour la pente maximale et ∇f·u avec un vecteur unitaire u pour une dérivée directionnelle.
Pour les extremums, résolvez f_x = 0 et f_y = 0 ensemble, puis classez chaque point avec D = f_xx·f_yy − f_xy².
Pour une intégrale double, esquissez la région, choisissez l’ordre (ou les coordonnées polaires pour les disques) de sorte que les bornes intérieures soient les courbes qui la délimitent, et intégrez d’abord l’intérieur.

Équations différentielles

Croissance/décroissance exponentielle: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Demi-vie: k = ln 2 / t_½
Loi de refroidissement de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Facteur intégrant: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Cuve de mélange: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Exercices

1.IntégralesMoyen

Calculez I = ∫₀¹ x·sin x dx (x en radians).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

2.IntégralesDifficile

Calculez I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

3.Suites et sériesMoyen

Trouvez la somme S = Σ_k=1³⁹ 5/(k(k + 1)).

a_k = 5/(k(k + 1))n = 39

S =

4.Suites et sériesDifficile

Utilisez le polynôme de Maclaurin de degré 3 de f(x) = sin(3x) pour approcher f(−0,5). Donnez P₃(−0,5).

f(x) = sin(3x)n = 3x = −0,5

P₃(−0.5) =

5.Analyse à plusieurs variablesMoyen

z = 5xy³ − 5x² − 4y³ + 3xy avec x = 2t + 2 et y = 2t². Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 0.

z = 5xy³ − 5x² − 4y³ + 3xyx = 2t + 2y = 2t²t = 0

dz/dt =

6.Analyse à plusieurs variablesDifficile

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 27x + y², classez-les, et donnez la valeur f_min de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 27x + y²

f_min =

7.Équations différentiellesMoyen

Résolvez y″ + 2y′ + y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 1. Trouvez y(1,5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 1

y(1.5) =

8.Équations différentiellesDifficile

Un système obéit à y″ + 2y′ + 5y = 25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.

y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3Solutions

1.Intégrales

Réponse: I = 0,3012

Intégration par parties : ∫u·dv = u·v − ∫v·du, issue de la règle du produit. Choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (une puissance de x, ou ln x), et pour dv le facteur que vous savez intégrer (eˣ, sin x, cos x, ou x lorsque u = ln x). Pour une intégrale définie, évaluez u·v aux deux bornes : ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un facteur x² demande deux étapes.

Choisir u et dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Primitive

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limites

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Réponse

I = 0,3012

2.Intégrales

Réponse: I = 3,602

Première étape

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Deuxième étape

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limites

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Réponse

I = 3,602

3.Suites et séries

Réponse: S = 4,875

Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |a_k+1/a_k| ; test de la racine : L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σc_k(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |c_k/c_k+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.

Décomposition en éléments simples

5/(k(k + 1)) = 5·(1/k − 1/(k + 1))

Annuler

S = 5·(1 − 1/40) = 4,875

Réponse

S = 4,875

4.Suites et séries

Réponse: P₃(−0.5) = −0,9375

Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.

Polynôme de Maclaurin

P₃(x) = 3x − 4,5x³

Remplacer

P₃(−0,5) = −1,5 + 0,5625 = −0,9375

Réponse

P₃(−0,5) = −0,9375

La valeur exacte est f(−0,5) = −0,997495 ; l’erreur −0,059995 diminue quand on prend plus de termes ou un point plus proche de 0.

5.Analyse à plusieurs variables

Réponse: dz/dt = −40

Gradient : ∇f = (f_x, f_y) pointe dans la direction de la plus forte montée, et |∇f| est le taux de variation maximal. La dérivée directionnelle suivant une direction v est D_uf = ∇f·u avec le vecteur unitaire u = v/|v|. Le plan tangent en (a, b) est z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ; il donne l’approximation linéaire de f près de ce point. Dérivation en chaîne : dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Point et taux de variation

x(0) = 2, y(0) = 0

dx/dt = 2, dy/dt = 4t = 0

Dérivées partielles

f_x = 5y³ − 10x + 3y = −20

f_y = 15xy² − 12y² + 3x = 6

Dérivation en chaîne

dz/dt = (−20)·2 + 6·0 = −40

Réponse

dz/dt = −40

6.Analyse à plusieurs variables

Réponse: f_min = −54

Points critiques et intégrales doubles : un point critique vérifie f_x = f_y = 0. Test des dérivées secondes avec D = f_xxf_yy − f_xy² : D > 0 et f_xx > 0 est un minimum local, D > 0 et f_xx < 0 un maximum local, D < 0 un point selle, et D = 0 ne permet pas de conclure. Pour une intégrale double sur une région générale, prenez comme bornes intérieures les courbes qui délimitent la région ; pour des disques et des secteurs, utilisez les coordonnées polaires, x = r cos θ, y = r sin θ et dA = r dr dθ (n’oubliez pas le facteur r).

Points critiques

Résolvez f_x = 0 et f_y = 0 ensemble.

f_x = (3x² − 27) = 0

f_y = (2y) = 0

(3, 0), (−3, 0)

Test des dérivées secondes

(3, 0): f_xx = 18, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 36 → minimum local

(−3, 0): f_xx = −18, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −36 → point selle

Valeur à l’extremum

f(3, 0) = −54

Réponse

f_min = −54

7.Équations différentielles

Réponse: y(1.5) = 2,008

Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = e^rt : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·e^rt (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.

Racine double

(r + 1)² = 0 → r = −1

Constantes

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 1A → B = 1 + 3 = 4

Évaluer

y(1,5) = (3 + 4·1,5)·e^−1,5 = 2,008

Réponse

y(1,5) = 2,008

8.Équations différentielles

Réponse: y(0.25) = 0,6492

Valeur stationnaire et racines

y_ss = 5, r = −1 ± 2j

Constantes à partir des valeurs initiales

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −2,5

Évaluer

y(0,25) = 5·(1 − e^−0,25(cos 0,5 + 0,5·sin 0,5)) = 0,6492

Réponse

y(0,25) = 0,6492

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