Analyse 2 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Intégrales

Règle des puissances: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Intégrale définie: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Primitives usuelles: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Aire entre deux courbes: ∫_a^b (f − g) dx

Méthode

Réécrivez l’intégrande comme une somme de termes simples si possible.
Appliquez la règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), et les primitives usuelles de e^x, 1/x, sin et cos.
Utilisez un changement de variable quand une fonction et sa dérivée apparaissent ensemble.
Pour une intégrale définie, calculez F(b) − F(a).

Suites et séries

Suite arithmétique: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence: R = lim |c_k/c_k+1|
Polynôme de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Méthode

Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Analyse à plusieurs variables

Dérivées partielles: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradient: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Dérivée directionnelle: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plan tangent: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Dérivation en chaîne: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test des dérivées secondes: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Intégrale double: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordonnées polaires: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Méthode

Pour une dérivée partielle, traitez l’autre variable comme une constante et utilisez les règles à une variable.
Pour les questions de gradient, calculez ∇f = (f_x, f_y) au point ; utilisez |∇f| pour la pente maximale et ∇f·u avec un vecteur unitaire u pour une dérivée directionnelle.
Pour les extremums, résolvez f_x = 0 et f_y = 0 ensemble, puis classez chaque point avec D = f_xx·f_yy − f_xy².
Pour une intégrale double, esquissez la région, choisissez l’ordre (ou les coordonnées polaires pour les disques) de sorte que les bornes intérieures soient les courbes qui la délimitent, et intégrez d’abord l’intérieur.

Équations différentielles

Croissance/décroissance exponentielle: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Demi-vie: k = ln 2 / t_½
Loi de refroidissement de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Facteur intégrant: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Cuve de mélange: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Exercices

1.IntégralesMoyen

Calcule I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

2.IntégralesDifficile

Calcule l'aire A du domaine entre la parabole y = 9 − x² et l'axe des x.

y = 9 − x²

A =

3.Suites et sériesMoyen

Trouvez la somme S = Σ_k=1^∞ 5/(k(k + 3)).

a_k = 5/(k(k + 3))

S =

4.Suites et sériesDifficile

f(x) = eˣ est approchée par son polynôme de Maclaurin de degré 4 en x = 0,5. Utilisez la majoration de l’erreur de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! avec M = e^0,5 = 1,649 pour trouver la plus grande erreur possible |R₄|.

f(x) = eˣn = 4x = 0,5M = 1,649

|R₄| =

5.Analyse à plusieurs variablesMoyen

z = x²y + 3x³ − 5y³ − 4xy avec x = −3t − 2 et y = −t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = x²y + 3x³ − 5y³ − 4xyx = −3t − 2y = −t² − 1t = 1

dz/dt =

6.Analyse à plusieurs variablesDifficile

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬_R y dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).

f = y0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π

I =

7.Équations différentiellesMoyen

Une tasse de café à 93 °C est laissée dans une pièce à 20 °C. Au bout de 19 min, sa température est de 29 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.

T₀ = 93 °CT_a = 20 °CT(19) = 29 °C

k = min⁻¹

8.Équations différentiellesDifficile

Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 5x² pour x > 0, avec y(1) = −3. Trouvez y(3).

y′ + y/x = 5x²y(1) = −3

y(3) =

3Solutions

1.Intégrales

Réponse: I = 41,33

Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.

Changement de variable

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Intégrer et évaluer

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Réponse

I = 41,33

2.Intégrales

Réponse: A = 36

Zéros

9 − x² = 0 → x = ±3

Intégrer

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Réponse

A = 36

3.Suites et séries

Réponse: S = 3,056

Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |a_k+1/a_k| ; test de la racine : L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σc_k(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |c_k/c_k+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.

Décomposition en éléments simples

5/(k(k + 3)) = (5/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annuler

S = (5/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 3,056

Réponse

S = 3,056

4.Suites et séries

Réponse: |R₄| = 0,0004294

Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.

Majoration de la dérivée

M = e^0,5 = 1,649

Majoration de Lagrange

|R₄| ≤ 1,649·0,5⁵/5! = 0,0004294

Réponse

|R₄| = 0,0004294

L’erreur réelle est plus petite : |f(0,5) − P₄(0,5)| = 0,0002838.

5.Analyse à plusieurs variables

Réponse: dz/dt = −729

Gradient : ∇f = (f_x, f_y) pointe dans la direction de la plus forte montée, et |∇f| est le taux de variation maximal. La dérivée directionnelle suivant une direction v est D_uf = ∇f·u avec le vecteur unitaire u = v/|v|. Le plan tangent en (a, b) est z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) ; il donne l’approximation linéaire de f près de ce point. Dérivation en chaîne : dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Point et taux de variation

x(1) = −5, y(1) = −2

dx/dt = −3, dy/dt = −2t = −2

Dérivées partielles

f_x = 2xy + 9x² − 4y = 253

f_y = x² − 15y² − 4x = −15

Dérivation en chaîne

dz/dt = 253·(−3) + (−15)·(−2) = −729

Réponse

dz/dt = −729

6.Analyse à plusieurs variables

Réponse: I = 5,333

Points critiques et intégrales doubles : un point critique vérifie f_x = f_y = 0. Test des dérivées secondes avec D = f_xxf_yy − f_xy² : D > 0 et f_xx > 0 est un minimum local, D > 0 et f_xx < 0 un maximum local, D < 0 un point selle, et D = 0 ne permet pas de conclure. Pour une intégrale double sur une région générale, prenez comme bornes intérieures les courbes qui délimitent la région ; pour des disques et des secteurs, utilisez les coordonnées polaires, x = r cos θ, y = r sin θ et dA = r dr dθ (n’oubliez pas le facteur r).

Forme polaire

I = ∫₀^π ∫₀² r sin θ·r dr dθ

Intégrer

∫ r²dr·∫ sin θ dθ

I = 5,333

Réponse

I = 5,333

7.Équations différentielles

Réponse: k = 0,1102 min⁻¹

Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·e^kt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e^{∫p dx} : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.

Rapport des écarts de température

e^−19k = 9/73

Résoudre pour k

k = ln(73/9)/19 = 0,1102 min⁻¹

Réponse

k = 0,1102 min⁻¹

8.Équations différentielles

Réponse: y(3) = 32,33

Facteur intégrant

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Intégrer

(x¹y)′ = 5x³ → x¹y = 5x⁴/4 + C

Condition initiale

−3 = 5/4 + C → C = −4,25

Évaluer

y(3) = (5·3⁴/4 + (−4,25))/3¹ = 32,33

Réponse

y(3) = 32,33

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