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1Formules et méthodes
Intégrales
Règle des puissances
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Intégrale définie
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Primitives usuelles
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Aire entre deux courbes
∫ab (f − g) dx
Méthode
Réécrivez l’intégrande comme une somme de termes simples si possible.
Appliquez la règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), et les primitives usuelles de ex, 1/x, sin et cos.
Utilisez un changement de variable quand une fonction et sa dérivée apparaissent ensemble.
Pour une intégrale définie, calculez F(b) − F(a).
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Analyse à plusieurs variables
Dérivées partielles
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Dérivée directionnelle
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plan tangent
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Dérivation en chaîne
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test des dérivées secondes
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Intégrale double
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordonnées polaires
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Méthode
Pour une dérivée partielle, traitez l’autre variable comme une constante et utilisez les règles à une variable.
Pour les questions de gradient, calculez ∇f = (fx, fy) au point ; utilisez |∇f| pour la pente maximale et ∇f·u avec un vecteur unitaire u pour une dérivée directionnelle.
Pour les extremums, résolvez fx = 0 et fy = 0 ensemble, puis classez chaque point avec D = fxx·fyy − fxy².
Pour une intégrale double, esquissez la région, choisissez l’ordre (ou les coordonnées polaires pour les disques) de sorte que les bornes intérieures soient les courbes qui la délimitent, et intégrez d’abord l’intérieur.
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.IntégralesMoyen
Calcule I = ∫26 5/x dx.
f(x) = 5/x[2, 6]
I =
2.IntégralesDifficile
Calcule l'aire A du domaine délimité par y = 0,5x2 et y = x.
y = 0,5x2y = x
A =
3.Suites et sériesMoyen
Appliquez le test du rapport à Σk=1∞ kᵏ/(2ᵏ·k!). Trouvez L = lim |ak+1/ak|.
ak = kᵏ/(2ᵏ·k!)
L =
4.Suites et sériesDifficile
Trouvez le coefficient c₄ de (x − 2)⁴ dans la série de Taylor de f(x) = e3x en a = 2.
f(x) = e3xa = 2k = 4
c₄ =
5.Analyse à plusieurs variablesMoyen
Pour f(x, y) = 3xy³ + x² − 5y² + 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 1), c’est-à-dire |∇f|.
f(x, y) = 3xy³ + x² − 5y² + 2xyP = (1, 1)
|∇f| =
6.Analyse à plusieurs variablesDifficile
Calculez I = ∬T (2x + 4y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 3 et y = 0,5x.
f = 2x + 4y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 0,5x
I =
7.Équations différentiellesMoyen
Une tasse de café à 95 °C est laissée dans une pièce à 19 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,09 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 21 min.
T0 = 95 °CTa = 19 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 21 min
T = °C
8.Équations différentiellesDifficile
Une cuve contient 1000 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 20 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 75 kg de sel ?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3Solutions
1.Intégrales
Réponse: I = 5,493
Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.
Primitive
F(x) = 5·ln x
Évaluer aux bornes
I = 5·(ln 6 − ln 2) = 5·ln 3 = 5,493
Réponse
I = 5,493
2.Intégrales
Réponse: A = 0,6667
Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.
Points d'intersection
0,5x2 = x → x = 0, x = 2
Intégrer la haute moins la basse
A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667
Réponse
A = 0,6667
3.Suites et séries
Réponse: L = 1,359
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Rapport de termes consécutifs
|ak+1/ak| = (1 + 1/k)ᵏ/2 → e/2
Conclusion
L = 1,359 > 1
Réponse
L = 1,359
L > 1, donc la série diverge.
4.Suites et séries
Réponse: c₄ = 1362
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Dérivée f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = 3⁴·e3x
Coefficient
c₄ = 3⁴·e6/4! = 1362
c₄ = 1362
Réponse
c₄ = 1362
5.Analyse à plusieurs variables
Réponse: |∇f| = 7,071
Gradient : ∇f = (fx, fy) pointe dans la direction de la plus forte montée, et |∇f| est le taux de variation maximal. La dérivée directionnelle suivant une direction v est Duf = ∇f·u avec le vecteur unitaire u = v/|v|. Le plan tangent en (a, b) est z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) ; il donne l’approximation linéaire de f près de ce point. Dérivation en chaîne : dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Dérivées partielles
fx = 3y³ + 2x + 2y → fx(1, 1) = 7
fy = 9xy² − 10y + 2x → fy(1, 1) = 1
Longueur du gradient
|∇f| = √(7² + 1²) = 7,071
Réponse
|∇f| = 7,071
6.Analyse à plusieurs variables
Réponse: I = 13,5
Points critiques et intégrales doubles : un point critique vérifie fx = fy = 0. Test des dérivées secondes avec D = fxxfyy − fxy² : D > 0 et fxx > 0 est un minimum local, D > 0 et fxx < 0 un maximum local, D < 0 un point selle, et D = 0 ne permet pas de conclure. Pour une intégrale double sur une région générale, prenez comme bornes intérieures les courbes qui délimitent la région ; pour des disques et des secteurs, utilisez les coordonnées polaires, x = r cos θ, y = r sin θ et dA = r dr dθ (n’oubliez pas le facteur r).
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Solution de la loi de refroidissement
T(t) = 19 + 76·e−0,09t
Remplacer t
T(21) = 19 + 76·0,1511 = 30,48 °C
Réponse
T = 30,48 °C
8.Équations différentielles
Réponse: t = 17,83 min
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.