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1Formules et méthodes
Intégrales
Règle des puissances
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Intégrale définie
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Primitives usuelles
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Aire entre deux courbes
∫ab (f − g) dx
Méthode
Réécrivez l’intégrande comme une somme de termes simples si possible.
Appliquez la règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), et les primitives usuelles de ex, 1/x, sin et cos.
Utilisez un changement de variable quand une fonction et sa dérivée apparaissent ensemble.
Pour une intégrale définie, calculez F(b) − F(a).
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Analyse à plusieurs variables
Dérivées partielles
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Dérivée directionnelle
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plan tangent
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Dérivation en chaîne
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test des dérivées secondes
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Intégrale double
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordonnées polaires
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Méthode
Pour une dérivée partielle, traitez l’autre variable comme une constante et utilisez les règles à une variable.
Pour les questions de gradient, calculez ∇f = (fx, fy) au point ; utilisez |∇f| pour la pente maximale et ∇f·u avec un vecteur unitaire u pour une dérivée directionnelle.
Pour les extremums, résolvez fx = 0 et fy = 0 ensemble, puis classez chaque point avec D = fxx·fyy − fxy².
Pour une intégrale double, esquissez la région, choisissez l’ordre (ou les coordonnées polaires pour les disques) de sorte que les bornes intérieures soient les courbes qui la délimitent, et intégrez d’abord l’intérieur.
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.IntégralesMoyen
Calcule I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 2]
I =
2.IntégralesDifficile
Calculez I = ∫₀1,5 x²·eˣ dx.
∫₀1,5 x²eˣ dx
I =
3.Suites et sériesMoyen
Appliquez le test du rapport à Σk=1∞ k·3ᵏ/5ᵏ. Trouvez L = lim |ak+1/ak|.
ak = k·3ᵏ/5ᵏ
L =
4.Suites et sériesDifficile
Trouvez le coefficient c₃ de (x − 1)³ dans la série de Taylor de f(x) = √x en a = 1.
f(x) = √xa = 1k = 3
c₃ =
5.Analyse à plusieurs variablesMoyen
z = 5x²y − 3x² + 5y³ + 2xy avec x = −t et y = −t² + 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 0.
z = 5x²y − 3x² + 5y³ + 2xyx = −ty = −t² + 2t = 0
dz/dt =
6.Analyse à plusieurs variablesDifficile
Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).
f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =
7.Équations différentiellesMoyen
Une pièce d’acier forgé à 360 °C refroidit dans un atelier à 23 °C. Au bout de 33 min, sa température est de 265 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 23 °CT(33) = 265 °C
k = min⁻¹
8.Équations différentiellesDifficile
Une cuve contient 1000 L d’eau dans laquelle 5 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 103 kg de sel ?
V = 1000 Lm0 = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
3Solutions
1.Intégrales
Réponse: I = 156
Intégrales définies : ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique entre le graphe et l'axe des x de a à b. Trouve une primitive F (avec F′ = f) et calcule F(b) − F(a). Règle des puissances : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). L'aire entre deux courbes est ∫(haute − basse) dx.
Changement de variable
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u3 du
Intégrer et évaluer
I = [u4/4]15 = (625 − 1)/4 = 156
Réponse
I = 156
2.Intégrales
Réponse: I = 3,602
Intégration par parties : ∫u·dv = u·v − ∫v·du, issue de la règle du produit. Choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive (une puissance de x, ou ln x), et pour dv le facteur que vous savez intégrer (eˣ, sin x, cos x, ou x lorsque u = ln x). Pour une intégrale définie, évaluez u·v aux deux bornes : ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un facteur x² demande deux étapes.
Première étape
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
Deuxième étape
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
Limites
4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602
Réponse
I = 3,602
3.Suites et séries
Réponse: L = 0,6
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Rapport de termes consécutifs
|ak+1/ak| = ((k + 1)/k)·3/5 → 3/5
Conclusion
L = 0,6 < 1
Réponse
L = 0,6
L < 1, donc la série converge.
4.Suites et séries
Réponse: c₃ = 0,0625
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Dérivée f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = 0,375·x1/2 − 3
Coefficient
c₃ = 0,375·11/2 − 3/3! = 0,0625
c₃ = 0,0625
Réponse
c₃ = 0,0625
5.Analyse à plusieurs variables
Réponse: dz/dt = −4
Gradient : ∇f = (fx, fy) pointe dans la direction de la plus forte montée, et |∇f| est le taux de variation maximal. La dérivée directionnelle suivant une direction v est Duf = ∇f·u avec le vecteur unitaire u = v/|v|. Le plan tangent en (a, b) est z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) ; il donne l’approximation linéaire de f près de ce point. Dérivation en chaîne : dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Point et taux de variation
x(0) = 0, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = −2t = 0
Dérivées partielles
fx = 10xy − 6x + 2y = 4
fy = 5x² + 15y² + 2x = 60
Dérivation en chaîne
dz/dt = 4·(−1) + 60·0 = −4
Réponse
dz/dt = −4
6.Analyse à plusieurs variables
Réponse: I = 12,57
Points critiques et intégrales doubles : un point critique vérifie fx = fy = 0. Test des dérivées secondes avec D = fxxfyy − fxy² : D > 0 et fxx > 0 est un minimum local, D > 0 et fxx < 0 un maximum local, D < 0 un point selle, et D = 0 ne permet pas de conclure. Pour une intégrale double sur une région générale, prenez comme bornes intérieures les courbes qui délimitent la région ; pour des disques et des secteurs, utilisez les coordonnées polaires, x = r cos θ, y = r sin θ et dA = r dr dθ (n’oubliez pas le facteur r).
Forme polaire
I = ∫0π ∫02 r²·r dr dθ
Intégrer
∫ r²·r dr = [r⁴/4]
I = 12,57
Réponse
I = 12,57
7.Équations différentielles
Réponse: k = 0,01003 min⁻¹
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Rapport des écarts de température
e−33k = 242/337
Résoudre pour k
k = ln(337/242)/33 = 0,01003 min⁻¹
Réponse
k = 0,01003 min⁻¹
8.Équations différentielles
Réponse: t = 255,4 min
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.