Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 16 % par an, capitalisé quotidienne. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 16%m = 365
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 13 ans. Le compte rapporte 3 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1003% / 12N = 156
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Il génère €17 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 11 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €200 000CF1 = €17 000g = 4%r = 11%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un investissement de €40 000 rapporte €11 500 à la fin de chaque année pendant 4 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €40 000CF = €11 500n = 4
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 6 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) quand son taux de rendement actuariel est de 5,5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 6y0 = 5,5%y1 = 5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Elle se vend €1 027. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8% (2×)n = 3P = €1 027
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,5 a un rendement exigé de 10%. Le taux sans risque est de 4%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,5re = 10%rf = 4%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 1 000 000 actions à €13,50 chacune et 10 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 0,6, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 8%. Trouvez le WACC.
β = 0,6rf = 4%rm = 8%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 44, 10, 48, 39, 24, 23, 48.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 42 ?
μ = 50σ = 8x = 42
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 2 personnes parmi un groupe de 6 ? L'ordre ne compte pas.
n = 6k = 2
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 8 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?
n = 8p = 0,4k = 2
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Quelle proportion se situe entre 50 et 75 points ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 75
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart type 7 cm. Faites glisser le seuil pour que les 5 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 25 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 4,8. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 90 % obtenu avec les mêmes données ?
99%n₁ = 25E₁ = 4,890%
E₂ =
16.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 10 parcelles, rendement moyen 47,5 kg, écart-type 2,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 39,5 kg, écart-type 8 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 122 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 122s = 20n = 49
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 1,599%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 17,35 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,16/365 = 0,0004384
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,0004384)365 − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%
Réponse
EAR = 17,35%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 19050 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €15 600 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 42857 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 17 000/(0,11 − 0,04) = 242 857,14
NPV
NPV = 242 857,14 − 200 000 = €42 857,14
Réponse
NPV = €42 857,14
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 5,835 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−4)/i = 40 000/11 500 = 3,478
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.
i = 5%: 3,546
i = 6%: 3,465
IRR = 5,835%
Réponse
IRR = 5,835%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 7,69 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, N = 6
Résoudre numériquement
i = 3,493% par semestre
YTM
YTM = 2·3,493% = 6,987%
Réponse
YTM = 6,987%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 8 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (10% − 4%)/1,5 = 4%
Rendement du marché
rm = 4% + 4% = 8%
Réponse
rm = 8%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,686 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1
Table de la loi normale
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Réponse
P = 0,1587
11.Probabilités
Réponse: N = 15
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Réponse
N = 15
12.Probabilités
Réponse: P = 0,209
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formule binomiale
P(X = 2) = 28·0,42·0,66 = 28·0,16·0,04666 = 0,209
Réponse
P = 0,209
13.Loi normale
Réponse: P = 0,7745
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5
z₂ = (75 − 65)/10 = 1
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(1) − Φ(−1,5) = 0,8413 − 0,06681 = 0,7745
Réponse
P = 0,7745
14.Loi normale
Réponse: x = 189,5 cm
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,95
z d’après la table
z ≈ 1,64
Retour aux unités d’origine
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
Réponse
x = 189,5 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 3,065
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(25/25) = 0,6386
Nouvelle marge
E₂ = 4,8·0,6386 = 3,065
Réponse
E₂ = 3,065
16.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 12,71 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (9·2,5² + 5·8²)/14 = 26,88
sp = 5,184
Marge d'erreur
E = 1,761·5,184·√(1/10 + 1/6) = 4,714
Intervalle
8 ± 4,714 → [3,286, 12,71]
Réponse
borne supérieure = 12,71 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 0,7
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857
Statistique de test
t = (122 − 120)/2,857 = 0,7
Réponse
t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 664
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·15/1,5)² = 663,6
Arrondir vers le haut
n = 664
Réponse
n = 664
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9927
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 3522 − 36·514/6 = 438
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 46814 − 514²/6 = 2781
Coefficient de corrélation
r = 438/√(70·2781) = 0,9927
Réponse
r = 0,9927
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 56,05
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 295/5 = 59
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59
Droite de régression
b = 59/10 = 5,9
a = 59 − 5,9·5 = 29,5
ŷ = 29,5 + 5,9·x
Prédiction
ŷ = 29,5 + 5,9·4,5 = 56,05
Réponse
ŷ = 56,05
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