Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 20 % par an, capitalisé trimestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 20%m = 4
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €25 000 à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €1 100 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €25 000A = €1 1004,2% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €5 000, €7 000, €5 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €11 500, €11 000, €13 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 11 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 9 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 8%) quand son taux de rendement actuariel est de 5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 4,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%n = 9y0 = 5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Elle se vend €716. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3% (2×)n = 10P = €716
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €5 000 000, des actions privilégiées valant €2 000 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 14%, le coût des actions privilégiées de 6,5% et le coût de la dette avant impôt de 4%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €6 000 000 et un coût des capitaux propres de 12%. Sa dette se compose de 2 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4%, 5 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €936 chacune. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 21, 41, 47, 26, 15, 19.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 130.
μ = 100σ = 20x = 130
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,3
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 10 € pour jouer. Vous gagnez 30 € avec la probabilité 0,3 et 100 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €10€30: p = 0,3€100: p = 0,05
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Les masses de passagers avec bagages sont indépendantes et normales, de moyenne 85 kg et d’écart-type 12 kg. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 9 d’entre eux soit inférieure à 801 kg. Arrondissez z à deux décimales.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 801 kg
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 25 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 21 éléments a une moyenne de 45,5 et un écart-type s = 20. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 21x̄ = 45,5s = 2090%t(20) = 1,725
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 16 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 9,8 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 15, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 6,262 et 2,5 % au-dessus de 27,488.
n = 16s = 9,8 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 étudiants a une note moyenne de 201,7 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 4n = 25
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2,5 ? L'écart-type est 12. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 12E = 2,590%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (27,5, 89). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(27,5, 89)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 21,55 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,2/4 = 0,05
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,05)4 − 1 = 1,216 − 1 = 21,55%
Réponse
EAR = 21,55%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 24 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0035/1100 = 0,9205
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,9205)/ln(1,004) = 23,72
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
23 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 24
Réponse
N = 24 versements
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −7072 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 5 000/1,15 = 4 347,83
CF2/(1 + 0,15)2 = 7 000/1,322 = 5 293,01
CF3/(1 + 0,15)3 = 5 000/1,521 = 3 287,58
Additionner
NPV = €−7 071,59
Réponse
NPV = €−7 071,59
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 19,36 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 1 865,29
NPV(20%) = −254,63
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €15,00, N = 20
Résoudre numériquement
i = 3,498% par semestre
YTM
YTM = 2·3,498% = 6,996%
Réponse
YTM = 6,996%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,677 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (130 − 100)/20 = 1,5
Réponse
z = 1,5
11.Probabilités
Réponse: σ = 12,36
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 20 (p = 0,3), 90 (p = 0,05), −10 (p = 0,65)
Espérance
E(G) = 20·0,3 + 90·0,05 − 10·0,65 = 4 €
Réponse
E(G) = 4 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,8413
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi du total
μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg
Centrer-réduire
z = (801 − 765)/36 = 1
Probabilités
P = Φ(1) = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
14.Loi normale
Réponse: x = 253,4 g
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,75
z d’après la table
z ≈ 0,67
Retour aux unités d’origine
x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g
Réponse
x = 253,4 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 37,97
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Marge d'erreur
E = 1,725·20/√21 = 7,529
Intervalle
45,5 ± 7,529 → [37,97, 53,03]
Réponse
borne inférieure = 37,97
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 7,239 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 15·9,8² = 1441
Bornes pour σ²
1441/27,488 = 52,41
1441/6,262 = 230,1
Borne pour σ
σ = √52,41 = 7,239 µm
Réponse
σ = 7,239 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [7,239, 15,17] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,125
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Statistique de test
t = (201,7 − 200)/0,8 = 2,125
Réponse
t = 2,125
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 63
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,645·12/2,5)² = 62,35
Arrondir vers le haut
n = 63
Réponse
n = 63
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9383
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 343/5 = 68,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 331,2
Coefficient de corrélation
r = 54/√(10·331,2) = 0,9383
Réponse
r = 0,9383
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 2,562
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 448/6 = 74,67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 618
Droite de régression
b = 618/157,5 = 3,924
a = 74,67 − 3,924·24,5 = −21,47
ŷ = −21,47 + 3,924·x
Valeur prédite
ŷ = −21,47 + 3,924·27,5 = 86,44
Résidu
e = 89 − 86,44 = 2,562
Réponse
e = 2,562
Le point se trouve au-dessus de la droite.
Ceci est un support d’entraînement indépendant. ExamProblems n’est ni affilié à l’organisme qui organise cet examen ni approuvé par lui, et le nom de l’examen sert uniquement à décrire le contenu. CFA® and Chartered Financial Analyst® sont des marques de CFA Institute, qui n’est pas affilié à ExamProblems, ne le cautionne pas et n’en garantit pas l’exactitude.