Tu as besoin de €40 000 dans 6 ans. Un compte rapporte 2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €40 0002% / 12n = 6
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €25 000 est remboursé par mensualités constantes sur 3 ans à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €25 0004,2% / 12N = 36
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €50 000 aujourd’hui, dure 4 ans et coûte €3 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 6 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €50 000M = €3 000n = 4r = 6%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €10 000, €16 500, €17 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 10 000CF2 = 16 500CF3 = 17 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 9 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €640 quand le taux de rendement actuariel est de 9%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 9P = €640YTM = 9%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 6 ans. Elle se vend €925. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4,5% (2×)n = 6P = €925
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €8 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
E = €8 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 1 000 000 actions à €39,00 chacune et 20 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 9%. Trouvez le WACC.
β = 1,1rf = 4%rm = 9%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 52, 11, 28, 46, 36, 38, 32.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 20.
μ = 50σ = 20x = 20
z =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 2 personnes parmi un groupe de 8 ? L'ordre ne compte pas.
n = 8k = 2
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,3, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?
n = 10p = 0,3k = 3
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,6331. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,6331
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 75 % des valeurs (le 75e centile).
μ = 500σ = 40P = 75%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 13 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 2,9 et un écart-type de 2,6. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour la différence moyenne.
n = 13d̄ = 2,9sd = 2,690%t(12) = 1,782
E = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 7. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1,5 ?
σ = 7E = 1,595%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 202,1 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 202,1s = 5n = 16
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 80 contre H₁ : μ < 80 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 64 ; l’écart-type est connu et vaut 8. En réalité, la moyenne vaut 76.2. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 80μ = 76,2σ = 8n = 64α = 0,01
1 − β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 20,5.
n = 5x = 20,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 35480 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·6 = 72
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,127 = €35 480,36
Réponse
PV = €35 480,36
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 1652 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,0035, N = 36
A = 25 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−36) = €740,33
Total des intérêts
I = N·A − P = 36·740,3 − 25 000 = €1 651,73
Réponse
I = €1 651,73
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 17430 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,06−4)/0,06 = 3,465
Prix d’achat annualisé
50 000/3,465 = 14 429,57
EAC
EAC = 14 429,57 + 3 000 = €17 429,57
Réponse
EAC = €17 429,57
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 31,09 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 421,03
NPV(35%) = −1 426,36
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,09)−9 = €460,43
Coupon
C = (640 − 460,43)/5,995 = €29,95
Taux du coupon
c = 29,95/1000 = 2,995%
Réponse
c = 2,995%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 6,007 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €22,50, N = 12
Résoudre numériquement
i = 3,004% par semestre
YTM
YTM = 2·3,004% = 6,007%
Réponse
YTM = 6,007%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,107 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·9% + 0,4286·3%·(1 − 0,25) = 6,107%
Réponse
WACC = 6,107%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,752 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 1 000 000·€39,00 = €39 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 4% + 1,1·5% = 9,5%
Pondérations
V = €58 200 000, E/V = 0,6701, D/V = 0,3299
WACC
WACC = 0,6701·9,5% + 0,3299·6%·(1 − 0,3) = 7,752%
Réponse
WACC = 7,752%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 13,25
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (20 − 50)/20 = −1,5
Réponse
z = −1,5
11.Probabilités
Réponse: N = 28
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
Réponse
N = 28
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2668
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,6331 = 0,3669
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,3669 dans la table et lisez z.
z = −0,34
Réponse
z = −0,34
14.Loi normale
Réponse: x = 527 h
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Retour à x
x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h
Réponse
x = 526,98 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 1,285 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 12, t = 1,782
Marge d'erreur
E = 1,782·2,6/√13 = 1,285
Réponse
E = 1,285 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 84
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·7/1,5)² = 83,66
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 84
Réponse
n = 84
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,68
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Statistique de test
t = (202,1 − 200)/1,25 = 1,68
Réponse
t = 1,68
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 92,98 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 80 − 2,326·1 = 77,67
z avec la vraie moyenne
z = (77,67 − 76,2)/1 = 1,474
Puissance
puissance = P(Z < 1.474) = 92.98%
1 − β = 92,98%
Réponse
1 − β = 92,98%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9672
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 415/5 = 83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1206
Coefficient de détermination
r² = 216²/(40·1206) = 0,9672
Réponse
r² = 0,9672
Environ 96,72 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 75,5
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 408/5 = 81,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366
Droite de régression
b = 366/90 = 4,067
a = 81,6 − 4,067·22 = −7,867
ŷ = −7,867 + 4,067·x
Prédiction
ŷ = −7,867 + 4,067·20,5 = 75,5
Réponse
ŷ = 75,5
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