Vous placez €1 000 à 6 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 16 ans.
PV = €1 000r = 6%t = 16
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €12 000 est remboursé par mensualités égales sur 6 ans. Le taux d'intérêt est de 6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €12 0006% / 12N = 72
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €6 000, €6 000, €7 000, €8 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui. Son flux vaut €5 500 à la fin de l’année 1 et croît de 3 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 9. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €50 000CF1 = €5 500g = 3%n = 9r = 12%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% et arrive à échéance dans 8 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 6% à 5,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 7%n = 8y1 = 6%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 17 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 9%) se vend €1 142. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 090. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 142prix de remboursement anticipé = €1 090remboursement anticipé dans 5 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,4 a un rendement exigé de 7,3%. Le taux sans risque est de 1%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,4re = 7,3%rf = 1%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €8 000 000 et un coût des capitaux propres de 10%. Sa dette se compose de 5 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%, 12 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 137 chacune. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 55, 30, 13, 40, 30.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 12. Trouve le score z z d'une note de 160,4.
μ = 170σ = 12x = 160,4
z =
11.ProbabilitésMoyen
Un sac contient 4 boules rouges et 7 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?
4 / 7
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 8 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 4 bonnes réponses ?
n = 8p = 0,2k = 4
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 26,3 et 37,1 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 26,3x2 = 37,1
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 25 % des valeurs (le 25e centile).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 89 et un écart-type s = 2. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 8x̄ = 89s = 295%t(7) = 2,365
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 31. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 4 ?
σ = 31E = 499%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 60 pièces a une longueur moyenne de 67,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 14 mm. Ligne 2 : un échantillon de 30 pièces a une moyenne de 60,8 mm, écart-type connu 8 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2,5 ? L'écart-type est 8. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 8E = 2,599%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 6Σx = 21Σy = 100Σx² = 91Σy² = 1892Σxy = 288
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (11, 56). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(11, 56)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 2612 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,06·16 = 0,96
e0,96 = 2,612
Valeur future
FV = 1 000·2,612 = €2 611,70
Réponse
FV = €2 611,70
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 198,9 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·6 = 72
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,6983
A = 12 000·0,005/(1 − 0,6983) = €198,87
Réponse
A = €198,87
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −1069 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 6 000/1,15 = 5 217,39
CF2/(1 + 0,15)2 = 6 000/1,322 = 4 536,86
CF3/(1 + 0,15)3 = 7 000/1,521 = 4 602,61
CF4/(1 + 0,15)4 = 8 000/1,749 = 4 574,03
Additionner
NPV = €−1 069,11
Réponse
NPV = €−1 069,11
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −17643 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de l’annuité croissante
((1,03)/(1,12))9 = 0,4705
PV = 5 500/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,4705) = 32 357,46
NPV
NPV = 32 357,46 − 50 000 = −€17 642,54
Réponse
NPV = −€17 642,54
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = 32,92 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1142 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Résoudre numériquement
y = 7%: €1 146,17
y = 8%: €1 101,18
YTC = 7,091%
Réponse
YTC = 7,091%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 7,495%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 5,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (7,3% − 1%)/1,4 = 4,5%
Rendement du marché
rm = 1% + 4,5% = 5,5%
Réponse
rm = 5,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,154 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (160,4 − 170)/12 = −0,8
Réponse
z = −0,8
11.Probabilités
Réponse: P = 0,1091
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091
Réponse
P = 0,1091
12.Probabilités
Réponse: P = 0,04588
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (26,3 − 32)/6 = −0,95
z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,85) − Φ(−0,95) = 0,8023 − 0,1711 = 0,6313
Réponse
P = 0,6313
14.Loi normale
Réponse: x = 173,3 cm
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Retour à x
x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm
Réponse
x = 173,28 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 1,672
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 7, t = 2,365
Marge d'erreur
E = 2,365·2/√8 = 1,672
Réponse
E = 1,672
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 399
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·31/4)² = 398,6
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 399
Réponse
n = 399
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 2,883
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(14²/60 + 8²/30) = √5,4 = 2,324
Statistique de test
z = (67,5 − 60,8)/2,324 = 2,883
Réponse
z = 2,883
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 68
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·8/2,5)² = 67,95
Arrondir vers le haut
n = 68
Réponse
n = 68
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9873
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 288 − 21·100/6 = −62
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1892 − 100²/6 = 225,3
Coefficient de corrélation
r = −62/√(17,5·225,3) = −0,9873
Réponse
r = −0,9873
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −4,533
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 296/6 = 49,33
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196
Droite de régression
b = 196/70 = 2,8
a = 49,33 − 2,8·7 = 29,73
ŷ = 29,73 + 2,8·x
Valeur prédite
ŷ = 29,73 + 2,8·11 = 60,53
Résidu
e = 56 − 60,53 = −4,533
Réponse
e = −4,533
Le point se trouve en dessous de la droite.
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