Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 17,5 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 17,5%m = 12
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €50 000 dans 6 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €50 0004,2% / 12N = 72
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €2 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €20 000M = €2 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €15 500, €15 500, €13 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 15 500CF2 = 15 500CF3 = 13 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 4% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 4%n = 3
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €950. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%n = 3P = €950
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 0,8 a un rendement exigé de 8,4%. Le taux sans risque est de 4%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 0,8re = 8,4%rf = 4%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 4 000 000 actions à €10,00 chacune et 10 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3,5% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 1,5, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 6,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 6,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 21, 32, 36, 38, 34, 60.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 8. Trouve le score z z d'une note de 50,4.
μ = 60σ = 8x = 50,4
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 5 € pour jouer. Vous gagnez 15 € avec la probabilité 0,15 et 250 € avec la probabilité 0,02 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €5€15: p = 0,15€250: p = 0,02
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,8611. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,8611
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 90 % des valeurs (le 90e centile).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 79,5 et un écart-type s = 12,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 9x̄ = 79,5s = 12,595%t(8) = 2,306
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 22. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?
σ = 22E = 2,590%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
8 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −1,14 et l’écart-type des différences 2,3. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 8d̄ = −1,14sd = 2,3
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Dans un essai, 24 patients sur 120 sous traitement A guérissent, et 48 sur 300 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 48n₂ = 300
z =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 5Σx = 30Σy = 65Σx² = 220Σy² = 981Σxy = 462
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (5,5, 33). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(5,5, 33)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 18,97 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,175/12 = 0,01458
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,01458)12 − 1 = 1,19 − 1 = 18,97%
Réponse
EAR = 18,97%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 611,8 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Prix d’achat annualisé
20 000/5,759 = 3 472,81
EAC
EAC = 3 472,81 + 2 000 = €5 472,81
Réponse
EAC = €5 472,81
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 35,83 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(35%) = 270,03
NPV(40%) = −1 282,80
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €10,00, i = 0,02, N = 6
Valeur actuelle des coupons
€10,00·(1 − 0,888)/0,02 = €56,01
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,888 = €887,97
Prix
P = €943,99
Réponse
P = €943,99
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 10,01 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Résoudre numériquement
P(10%) = €950,26, P(11%) = €926,69
YTM = 10,01%
Réponse
YTM = 10,01%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 9,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (8,4% − 4%)/0,8 = 5,5%
Rendement du marché
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Réponse
rm = 9,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,968 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (50,4 − 60)/8 = −1,2
Réponse
z = −1,2
11.Probabilités
Réponse: σ = 1,2
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,35 = 1,6
Moyenne des carrés
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,35 = 4
Variance
Var(X) = 4 − 1,6² = 1,44
σ = √1,44 = 1,2
Réponse
σ = 1,2
12.Probabilités
Réponse: E(G) = 2,25 €
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 10 (p = 0,15), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,83)
Espérance
E(G) = 10·0,15 + 245·0,02 − 5·0,83 = 2,25 €
Réponse
E(G) = 2,25 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: z = 1,48
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,8611)/2 = 0,9306
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9306 dans la table et lisez z.
z = 1,48
Réponse
z = 1,48
14.Loi normale
Réponse: x = 187 cm
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Retour à x
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Réponse
x = 186,97 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 89,11
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Marge d'erreur
E = 2,306·12,5/√9 = 9,608
Intervalle
79,5 ± 9,608 → [69,89, 89,11]
Réponse
borne supérieure = 89,11
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 210
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·22/2,5)² = 209,6
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 210
Réponse
n = 210
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,402
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 2,3/√8 = 0,8132
Statistique de test
t = −1,14/0,8132 = −1,402
Réponse
t = −1,402
Avec df = 7, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,365 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = 0,9826
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proportions des échantillons
p̂₁ = 24/120 = 0,2
p̂₂ = 48/300 = 0,16
p̂ = 72/420 = 0,1714
Erreur type sous H₀
SE = √(0,1714·0,8286·(1/120 + 1/300)) = 0,04071
Statistique de test
z = (0,2 − 0,16)/0,04071 = 0,9826
Réponse
z = 0,9826
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9762
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 462 − 30·65/5 = 72
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 981 − 65²/5 = 136
Coefficient de corrélation
r = 72/√(40·136) = 0,9762
Réponse
r = 0,9762
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −4,75
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 184/5 = 36,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 19
Droite de régression
b = 19/10 = 1,9
a = 36,8 − 1,9·5 = 27,3
ŷ = 27,3 + 1,9·x
Valeur prédite
ŷ = 27,3 + 1,9·5,5 = 37,75
Résidu
e = 33 − 37,75 = −4,75
Réponse
e = −4,75
Le point se trouve en dessous de la droite.
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