Tu as besoin de €5 000 dans 5 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €5 0005% / 4n = 5
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €150 0007,2% / 12N = 300
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €14 000, €11 000, €14 000. Le coût du capital est de 7,000000000000001 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €20 000 et rapporte €10 000, €12 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 12 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% et arrive à échéance dans 4 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5% à 5,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 6%n = 4y1 = 5%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €935 avec un taux de rendement actuariel de 5% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 5,3 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 100 points de base.
P0 = €935y = 5%D = 5,3Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €3 000 000 et une dette valant €5 000 000. Son WACC est de 5,88%, son coût de la dette avant impôt de 4% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 2 000 000 actions à €28,50 chacune et 20 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 7%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 1%rm = 7%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 44, 30, 57, 20, 40, 49, 54.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 10. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 112,5 ?
μ = 100σ = 10x = 112,5
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 4 personnes parmi un groupe de 6 ? L'ordre ne compte pas.
n = 6k = 4
N =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 7 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,1, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 7p = 0,1
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Quelle proportion se situe entre 167,15 et 192,35 cm ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 178σ = 7x1 = 167,15x2 = 192,35
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 10 % des valeurs (le 10e centile).
μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 20 éléments a une moyenne de 14,5 et un écart-type s = 14,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 20x̄ = 14,5s = 14,595%t(19) = 2,093
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 16 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 11,9 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 15, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 6,262 et 2,5 % au-dessus de 27,488.
n = 16s = 11,9 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 8 étudiants, note moyenne 93, écart-type 3,5. Groupe 2 : 6 étudiants, note moyenne 88,9, écart-type 5,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 8x̄₁ = 93s₁ = 3,5n₂ = 6x̄₂ = 88,9s₂ = 5,5
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2,5 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 2,599%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 98 ?
n = 5ŷ = 98
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 3900 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·5 = 20
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,282 = €3 900,04
Réponse
PV = €3 900,04
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 173815 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 14 000/1,07 = 13 084,11
CF2/(1 + 0,07)2 = 11 000/1,145 = 9 607,83
CF3/(1 + 0,07)3 = 14 000/1,225 = 11 428,17
Additionner
NPV = €4 120,11
Réponse
NPV = €4 120,11
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 7,916 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(5%) = 861,68
NPV(10%) = −578,51
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 5 + 5·861,68/(861,68 − (−578,51)) = 7,992%
exact: NPV(7,916%) = 0 → IRR = 7,916%
Réponse
IRR = 7,916%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = −17,93 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 5,3/1,05 = 5,048
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −5,048·(0,01) = −5,048%
P ≈ 935·(1 − 0,05048) = €887,80
Réponse
P = €887,80
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 11,01 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
Part de la dette dans le WACC
0,625·4%·(1 − 0,3) = 1,75%
Coût des capitaux propres
re = (5,88% − 1,75%)/0,375 = 11,01%
Réponse
re = 11,01%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,642 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1,25
Table de la loi normale
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Réponse
P = 0,8944
11.Probabilités
Réponse: N = 15
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Réponse
N = 15
12.Probabilités
Réponse: P = 0,8503
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372
Les additionner
P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503
Réponse
P = 0,8503
13.Loi normale
Réponse: P = 0,9192
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Retour à x
x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h
Réponse
x = 448,74 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 21,29
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Marge d'erreur
E = 2,093·14,5/√20 = 6,786
Intervalle
14,5 ± 6,786 → [7,714, 21,29]
Réponse
borne supérieure = 21,29
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 18,42 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 15·11,9² = 2124
Bornes pour σ²
2124/27,488 = 77,28
2124/6,262 = 339,2
Borne pour σ
σ = √339,2 = 18,42 µm
Réponse
σ = 18,42 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [8,791, 18,42] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,708
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (7·3,5² + 5·5,5²)/12 = 19,75
sp = 4,444
Erreur type
SE = 4,444·√(1/8 + 1/6) = 2,4
Statistique de test
t = (93 − 88,9)/2,4 = 1,708
Réponse
t = 1,708
Avec df = 12, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,179 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 239
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·15/2,5)² = 238,9
Arrondir vers le haut
n = 239
Réponse
n = 239
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,965
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 71/5 = 14,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84
Syy = Σ(y − ȳ)² = 182,8
Coefficient de détermination
r² = 84²/(40·182,8) = 0,965
Réponse
r² = 0,965
Environ 96,5 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 10,01
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 399/5 = 79,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242
Droite de régression
b = 242/40 = 6,05
a = 79,8 − 6,05·7 = 37,45
ŷ = 37,45 + 6,05·x
Résoudre pour x
x = (98 − 37,45)/6,05 = 10,01
Réponse
x = 10,01
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