Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 18 % par an, capitalisé trimestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 18%m = 4
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €250 000 est remboursé par mensualités constantes sur 25 ans à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 7 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €250 0004,8% / 12N = 300k = 84
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €30 000 aujourd’hui et rapporte €8 000 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un investissement de €25 000 rapporte €10 000 à la fin de chaque année pendant 3 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €25 000CF = €10 000n = 3
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 12 ans. Le taux de rendement actuariel est de 7% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 7%n = 12
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 14 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 153. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%P = €1 153prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 3 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €3 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 12%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions à €25,00 chacune et 10 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 9%. Trouvez le WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 9%rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 26, 46, 41, 18, 32.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 46 ?
μ = 70σ = 20x = 46
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 9 ? L'ordre ne compte pas.
n = 9k = 5
N =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 8 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 1 bonnes réponses ?
n = 8p = 0,4k = 1
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9793. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9793
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 90 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 100 pointsσ = 15 points90%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 40 téléphones, moyenne 78 h, écart-type connu 11 h. Modèle 2 : 50 téléphones, moyenne 64 h, écart-type connu 16 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
L’écart-type de la population est 26. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 5 ?
σ = 26E = 595%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 98,92 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,92s = 12n = 100
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 75,1. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 75,1σ = 10n = 4995%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 5Σx = 30Σy = 85Σx² = 220Σy² = 1733Σxy = 616
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (21, 50). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(21, 50)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 19,25 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,18/4 = 0,045
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,045)4 − 1 = 1,193 − 1 = 19,25%
Réponse
EAR = 19,25%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: B = 206924 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 300 − 84 = 216
B = 1432·(1 − (1 + 0,004)−216)/0,004 = €206 923,60
Réponse
B = €206 923,60
3.VAN et TRI
Réponse: DPB = 4,26 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 8 000/1,05 = 7 619,05 → Σ = 7 619,05
année 2: 8 000/1,103 = 7 256,24 → Σ = 14 875,28
année 3: 8 000/1,158 = 6 910,70 → Σ = 21 785,98
année 4: 8 000/1,216 = 6 581,62 → Σ = 28 367,60
année 5: 8 000/1,276 = 6 268,21 → Σ = 34 635,81
Fraction de la dernière année
DPB = 4 + 1 632,40/6 268,21 = 4,26
Réponse
DPB = 4,26 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,75 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 9,701 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−3)/i = 25 000/10 000 = 2,5
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.
i = 9%: 2,531
i = 10%: 2,487
IRR = 9,701%
Réponse
IRR = 9,701%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 598,5 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €10,00, i = 0,035, N = 24
Valeur actuelle des coupons
€10,00·(1 − 0,438)/0,035 = €160,58
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,438 = €437,96
Prix
P = €598,54
Réponse
P = €598,54
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 2,583 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1153 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Résoudre numériquement
y = 2%: €1 171,89
y = 3%: €1 139,77
YTC = 2,583%
Réponse
YTC = 2,583%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 4,503%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,928 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·12% + 0,4·6%·(1 − 0,28) = 8,928%
Réponse
WACC = 8,928%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 9,169 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 5 000 000·€25,00 = €125 000 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2% + 1,1·7% = 9,7%
Pondérations
V = €134 800 000, E/V = 0,9273, D/V = 0,0727
WACC
WACC = 0,9273·9,7% + 0,0727·3%·(1 − 0,2) = 9,169%
Réponse
WACC = 9,169%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 11,26
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,2
Table de la loi normale
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Réponse
P = 0,8849
11.Probabilités
Réponse: N = 126
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Réponse
N = 126
12.Probabilités
Réponse: P = 0,08958
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formule binomiale
P(X = 1) = 8·0,41·0,67 = 8·0,4·0,02799 = 0,08958
Réponse
P = 0,08958
13.Loi normale
Réponse: z = −2,04
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,9793 = 0,0207
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,0207 dans la table et lisez z.
z = −2,04
Réponse
z = −2,04
14.Loi normale
Réponse: x = 119,2 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,9
z d’après la table
z ≈ 1,28
Retour aux unités d’origine
x = 100 + 1,28·15 = 119,2 points
Réponse
x = 119,2 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 4,695 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 78 − 64 = 14
Erreur type
SE = √(11²/40 + 16²/50) = 2,854
Marge d'erreur
E = 1,645·2,854 = 4,695
Réponse
E = 4,695 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 104
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·26/5)² = 103,9
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 104
Réponse
n = 104
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −0,9
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Statistique de test
t = (98,92 − 100)/1,2 = −0,9
Réponse
t = −0,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 77,9
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,96·10/√49 = 2,8
Borne de l'intervalle
U = 75,1 + 2,8 = 77,9
Réponse
U = 77,9
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9876
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 616 − 30·85/5 = 106
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1733 − 85²/5 = 288
Coefficient de corrélation
r = 106/√(40·288) = 0,9876
Réponse
r = 0,9876
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −4
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 283/5 = 56,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Droite de régression
b = 104/40 = 2,6
a = 56,6 − 2,6·22 = −0,6
ŷ = −0,6 + 2,6·x
Valeur prédite
ŷ = −0,6 + 2,6·21 = 54
Résidu
e = 50 − 54 = −4
Réponse
e = −4
Le point se trouve en dessous de la droite.
Ceci est un support d’entraînement indépendant. ExamProblems n’est ni affilié à l’organisme qui organise cet examen ni approuvé par lui, et le nom de l’examen sert uniquement à décrire le contenu. CFA® and Chartered Financial Analyst® sont des marques de CFA Institute, qui n’est pas affilié à ExamProblems, ne le cautionne pas et n’en garantit pas l’exactitude.