Tu as besoin de €10 000 dans 8 ans. Un compte rapporte 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €10 0004,8% / 12n = 8
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €10 000 dans 12 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €10 0003% / 12N = 144
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €17 000, €16 000, €16 000, €14 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €17 000, €15 000, €14 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 15 000CF3 = 14 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 8 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 2%) quand son taux de rendement actuariel est de 6%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 5,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 2%n = 8y0 = 6%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €1 065. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 8P = €1 065
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €4 000 000 et une dette valant €1 000 000. Son WACC est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 4% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €42,50 chacune et 5 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 1,5, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 5,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 5,5%rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 38, 59, 40, 55, 41, 56.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 8. Trouve le score z z d'une note de 92.
μ = 100σ = 8x = 92
z =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 4 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 4
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 1 € pour jouer. Vous gagnez 2 € avec la probabilité 0,1 et 50 € avec la probabilité 0,02 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €1€2: p = 0,1€50: p = 0,02
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Quelle proportion se situe entre 55,5 et 70,5 points ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 65σ = 10x1 = 55,5x2 = 70,5
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,02 mm et d’écart-type 0,015 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 11 éléments a une moyenne de 66,5 et un écart-type s = 8,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 11x̄ = 66,5s = 8,590%t(10) = 1,812
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 6. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?
σ = 6E = 0,595%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 70,8 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 70,8s = 12n = 16
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 3 ? L'écart-type est 12. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 12E = 399%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (1,5, 18). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 18)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 6817 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·8 = 96
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,467 = €6 816,53
Réponse
PV = €6 816,53
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 57,78 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 17 000/1,05 = 16 190,48
CF2/(1 + 0,05)2 = 16 000/1,103 = 14 512,47
CF3/(1 + 0,05)3 = 16 000/1,158 = 13 821,40
CF4/(1 + 0,05)4 = 14 000/1,216 = 11 517,83
Additionner
NPV = €11 042,18
Réponse
NPV = €11 042,18
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 39,67 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(35%) = 1 513,23
NPV(40%) = −102,04
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 065 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Résoudre numériquement
P(4%) = €1 134,65, P(5%) = €1 064,63
YTM = 4,995%
Réponse
YTM = 4,995%
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 13 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
Part de la dette dans le WACC
0,2·4%·(1 − 0,25) = 0,6%
Coût des capitaux propres
re = (11% − 0,6%)/0,8 = 13%
Réponse
re = 13%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,348 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (92 − 100)/8 = −1
Réponse
z = −1
11.Probabilités
Réponse: P = 0,5177
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Réponse
P = 0,5177
12.Probabilités
Réponse: E(G) = 0,2 €
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 1 (p = 0,1), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,88)
Espérance
E(G) = 1·0,1 + 49·0,02 − 1·0,88 = 0,2 €
Réponse
E(G) = 0,2 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,5378
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95
z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,55) − Φ(−0,95) = 0,7088 − 0,1711 = 0,5378
Réponse
P = 0,5378
14.Loi normale
Réponse: P = 0,8665
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Réponse
P = 0,8665
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 71,14
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Marge d'erreur
E = 1,812·8,5/√11 = 4,644
Intervalle
66,5 ± 4,644 → [61,86, 71,14]
Réponse
borne supérieure = 71,14
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 554
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·6/0,5)² = 553,2
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 554
Réponse
n = 554
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,4
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Statistique de test
t = (70,8 − 75)/3 = −1,4
Réponse
t = −1,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 107
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·12/3)² = 106,2
Arrondir vers le haut
n = 107
Réponse
n = 107
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9129
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 336/6 = 56
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69
Syy = Σ(y − ȳ)² = 298
Coefficient de détermination
r² = 69²/(17,5·298) = 0,9129
Réponse
r² = 0,9129
Environ 91,29 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −2,314
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 102/6 = 17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Droite de régression
b = −29/17,5 = −1,657
a = 17 − (−1,657)·3,5 = 22,8
ŷ = 22,8 − 1,657·x
Valeur prédite
ŷ = 22,8 + (−1,657)·1,5 = 20,31
Résidu
e = 18 − 20,31 = −2,314
Réponse
e = −2,314
Le point se trouve en dessous de la droite.
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