Tu places €12 000 à un taux nominal de 2 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 7 ans.
PV = €12 0002% / 12n = 7
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €8 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €8 0002,4% / 12N = 60
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €9 000, €5 000, €4 000. Le coût du capital est de 9 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €24 500, €16 500, €16 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 24 500CF2 = 16 500CF3 = 16 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% et arrive à échéance dans 5 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 3% à 1,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 2%n = 5y1 = 3%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 6 ans et se vend €1 080. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 6P = €1 080
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €4 000 000 et une dette valant €3 000 000. Son WACC est de 7,82%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €17,50 chacune et 5 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 0,8, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 8%. Trouvez le WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 8%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 40, 17, 51, 50, 27, 51.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 82 ?
μ = 70σ = 12x = 82
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 13 ? L'ordre ne compte pas.
n = 13k = 5
N =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 7 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,1, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 7p = 0,1
P =
13.Loi normaleMoyen
X est normale de moyenne 120 mm et d’écart-type 0,3 mm ; Y est indépendante et normale de moyenne 80 mm et d’écart-type 0,4 mm. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 201 mm. Arrondissez z à deux décimales.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 201 mm
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 10 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 6 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 3,6 et un écart-type de 1,8. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.
n = 6d̄ = 3,6sd = 1,895%t(5) = 2,571
borne supérieure = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
On ne sait rien à l’avance sur la proportion de produits défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,03 ?
p = 0,5E = 0,0399%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 étudiants a une note moyenne de 45,84 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 45,84s = 8n = 25
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ < 100 est réalisé au seuil α = 0.05 avec un échantillon de 25 ; l’écart-type est connu et vaut 15. En réalité, la moyenne vaut 91.6. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 100μ = 91,6σ = 15n = 25α = 0,05
1 − β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 6Σx = 21Σy = 85Σx² = 91Σy² = 1357Σxy = 248
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (7, 7). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(7, 7)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 13802 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·5 = 60
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,887
A = 8 000·0,002/(1 − 0,887) = €141,63
Réponse
A = €141,63
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −4446 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 9 000/1,09 = 8 256,88
CF2/(1 + 0,09)2 = 5 000/1,188 = 4 208,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 4 000/1,295 = 3 088,73
Additionner
NPV = €−4 445,99
Réponse
NPV = €−4 445,99
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 22,45 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 1 423,61
NPV(25%) = −1 392,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 080 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Résoudre numériquement
P(3%) = €1 108,34, P(4%) = €1 052,42
YTM = 3,499%
Réponse
YTM = 3,499%
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 12 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
Part de la dette dans le WACC
0,4286·3%·(1 − 0,25) = 0,9643%
Coût des capitaux propres
re = (7,82% − 0,9643%)/0,5714 = 12%
Réponse
re = 12%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,786 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1
Table de la loi normale
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
11.Probabilités
Réponse: N = 1287
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Réponse
N = 1287
12.Probabilités
Réponse: P = 0,8503
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372
Les additionner
P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503
Réponse
P = 0,8503
13.Loi normale
Réponse: P = 0,02275
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la somme
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Centrer-réduire
z = (201 − 200)/0,5 = 2
Queue supérieure
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Réponse
P = 0,02275
14.Loi normale
Réponse: x = 449 h
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,1
z d’après la table
z ≈ −1,28
Retour aux unités d’origine
x = 500 − 1,28·40 = 449 h
Réponse
x = 449 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 5,489 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 5, t = 2,571
Marge d'erreur
E = 2,571·1,8/√6 = 1,889
Intervalle
3,6 ± 1,889 → [1,711, 5,489]
Réponse
borne supérieure = 5,489 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1844
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843
Arrondir vers le haut
n = 1844
Réponse
n = 1844
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,6
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Statistique de test
t = (45,84 − 50)/1,6 = −2,6
Réponse
t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 87,6 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 100 − 1,645·3 = 95,06
z avec la vraie moyenne
z = (95,06 − 91,6)/3 = 1,155
Puissance
puissance = P(Z < 1.155) = 87.6%
1 − β = 87,6%
Réponse
1 − β = 87,6%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9571
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 248 − 21·85/6 = −49,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1357 − 85²/6 = 152,8
Coefficient de corrélation
r = −49,5/√(17,5·152,8) = −0,9571
Réponse
r = −0,9571
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −4,25
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 49/5 = 9,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58
Droite de régression
b = 58/40 = 1,45
a = 9,8 − 1,45·6 = 1,1
ŷ = 1,1 + 1,45·x
Valeur prédite
ŷ = 1,1 + 1,45·7 = 11,25
Résidu
e = 7 − 11,25 = −4,25
Réponse
e = −4,25
Le point se trouve en dessous de la droite.
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