Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €2 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 4 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €2 000g = 1%r = 4%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €30 000 est remboursé par mensualités constantes sur 6 ans à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €30 0004,8% / 12N = 72
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €37 000, €24 000, €32 000, €19 000. Le coût du capital est de 9 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un investissement de €25 000 rapporte €5 000 à la fin de chaque année pendant 7 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €25 000CF = €5 000n = 7
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 2,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 2,5%n = 10
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 7 ans et se vend €950. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 7P = €950
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €4 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
E = €4 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 000 000 actions à €43,50 chacune et 20 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.
β = 0,9rf = 1%rm = 7,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 23, 24, 13, 36, 10, 11, 50.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 40. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 540 ?
μ = 500σ = 40x = 540
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,3, 0,1
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
X a la loi indiquée, et Y = 0,5X + 4. Trouvez l’écart-type σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,3, 0,1Y = 0,5X + 4
σY =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Quelle proportion se situe entre 242,5 et 260,25 g ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 250σ = 5x1 = 242,5x2 = 260,25
P =
14.Loi normaleDifficile
La masse X d’un produit de la ligne 1 et Y d’un produit de la ligne 2 sont indépendantes et normales : X a pour moyenne 500 g et pour écart-type 8 g, Y a pour moyenne 490 g et pour écart-type 6 g. Trouvez la probabilité P que X soit supérieure à Y. Arrondissez z à deux décimales.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 21 éléments a une moyenne de 38 et un écart-type s = 3. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 21x̄ = 38s = 390%t(20) = 1,725
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 4. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 4E = 190%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 205,3 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 205,3s = 20n = 81
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 199%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (21, 81). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(21, 81)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 66667 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,004, N = 72
A = 30 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−72) = €480,37
Total des intérêts
I = N·A − P = 72·480,4 − 30 000 = €4 586,62
Réponse
I = €4 586,62
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 17315 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 37 000/1,09 = 33 944,95
CF2/(1 + 0,09)2 = 24 000/1,188 = 20 200,32
CF3/(1 + 0,09)3 = 32 000/1,295 = 24 709,87
CF4/(1 + 0,09)4 = 19 000/1,412 = 13 460,08
Additionner
NPV = €17 315,22
Réponse
NPV = €17 315,22
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 9,196 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−7)/i = 25 000/5 000 = 5
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.
i = 9%: 5,033
i = 10%: 4,868
IRR = 9,196%
Réponse
IRR = 9,196%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1484 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, i = 0,0125, N = 20
Valeur actuelle des coupons
€40,00·(1 − 0,78)/0,0125 = €703,97
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,78 = €780,01
Prix
P = €1 483,98
Réponse
P = €1 483,98
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 7,959 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Résoudre numériquement
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €947,94
YTM = 7,959%
Réponse
YTM = 7,959%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,99 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·9% + 0,2·5%·(1 − 0,21) = 7,99%
Réponse
WACC = 7,99%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,124 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1
Table de la loi normale
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 102,8
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Dispersion de X
μ = 1,2, Var(X) = 0,96, σX = 0,9798
Changement linéaire
σY = |0,5|·0,9798 = 0,4899
Réponse
σY = 0,4899
La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 0,5·1,2 + 4 = 4,6.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,913
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5
z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(2,05) − Φ(−1,5) = 0,9798 − 0,06681 = 0,913
Réponse
P = 0,913
14.Loi normale
Réponse: P = 0,8413
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Centrer-réduire
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilités
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 36,87
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Marge d'erreur
E = 1,725·3/√21 = 1,129
Intervalle
38 ± 1,129 → [36,87, 39,13]
Réponse
borne inférieure = 36,87
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 44
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·4/1)² = 43,3
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 44
Réponse
n = 44
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,385
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Statistique de test
t = (205,3 − 200)/2,222 = 2,385
Réponse
t = 2,385
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 1494
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·15/1)² = 1493
Arrondir vers le haut
n = 1494
Réponse
n = 1494
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9628
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 94/6 = 15,67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44
Syy = Σ(y − ȳ)² = 119,3
Coefficient de corrélation
r = −44/√(17,5·119,3) = −0,9628
Réponse
r = −0,9628
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 4,333
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 460/6 = 76,67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222
Droite de régression
b = 222/70 = 3,171
a = 76,67 − 3,171·21 = 10,07
ŷ = 10,07 + 3,171·x
Valeur prédite
ŷ = 10,07 + 3,171·21 = 76,67
Résidu
e = 81 − 76,67 = 4,333
Réponse
e = 4,333
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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