Tu as besoin de €50 000 dans 7 ans. Un compte rapporte 3 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €50 0003% / 12n = 7
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités constantes sur 5 ans à 3,6 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €15 0003,6% / 12N = 60
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €21 000, €20 000, €25 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €12 500, €15 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 15 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 9 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 2%) quand son taux de rendement actuariel est de 5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 4%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 2%n = 9y0 = 5%y1 = 4%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €1 070. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 5P = €1 070
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €3 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 4% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions cotant €54,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €163 500 000. Elle vient de verser un dividende de €1,60 par action, et les dividendes croissent de 5% par an. Sa dette a une valeur de marché de €136 300 000 et un coût avant impôt de 4%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 54, 39, 41, 60, 15.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 76 ?
μ = 100σ = 20x = 76
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,25, 0,1, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 5 € pour jouer. Vous gagnez 25 € avec la probabilité 0,25 et 250 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €5€25: p = 0,25€250: p = 0,05
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 454 et 580 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 580
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart type 7 cm. Faites glisser le seuil pour que les 95 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 178 cmσ = 7 cm95%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 50 téléphones, moyenne 53 h, écart-type connu 3 h. Modèle 2 : 40 téléphones, moyenne 53,5 h, écart-type connu 6 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
L’écart-type de la population est 10. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 4 ?
σ = 10E = 499%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 496,5 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 496,5s = 20n = 64
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 16 mesures a une moyenne de 497,3. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 497,3σ = 10n = 1699%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 8.
n = 5x = 8
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 40540 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·7 = 84
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,233 = €40 539,83
Réponse
PV = €40 539,83
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 1413 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,003, N = 60
A = 15 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−60) = €273,55
Total des intérêts
I = N·A − P = 60·273,5 − 15 000 = €1 412,91
Réponse
I = €1 412,91
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −5597 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 21 000/1,1 = 19 090,91
CF2/(1 + 0,1)2 = 20 000/1,21 = 16 528,93
CF3/(1 + 0,1)3 = 25 000/1,331 = 18 782,87
Additionner
NPV = €−5 597,30
Réponse
NPV = €−5 597,30
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 6,394 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(5%) = 510,20
NPV(10%) = −1 239,67
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 070 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Résoudre numériquement
P(2%) = €1 094,27, P(3%) = €1 045,80
YTM = 2,494%
Réponse
YTM = 2,494%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·13% + 0,25·4%·(1 − 0,25) = 10,5%
Réponse
WACC = 10,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,455 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,2
Table de la loi normale
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Réponse
P = 0,8849
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 1,747
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 20 (p = 0,25), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)
Espérance
E(G) = 20·0,25 + 245·0,05 − 5·0,7 = 13,75 €
Réponse
E(G) = 13,75 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,8522
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15
z₂ = (580 − 500)/40 = 2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(2) − Φ(−1,15) = 0,9772 − 0,1251 = 0,8522
Réponse
P = 0,8522
14.Loi normale
Réponse: x = 189,5 cm
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,95
z d’après la table
z ≈ 1,64
Retour aux unités d’origine
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
Réponse
x = 189,5 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 2,037 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 53 − 53,5 = −0,5
Erreur type
SE = √(3²/50 + 6²/40) = 1,039
Marge d'erreur
E = 1,96·1,039 = 2,037
Réponse
E = 2,037 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 42
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·10/4)² = 41,47
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 42
Réponse
n = 42
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,4
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Statistique de test
t = (496,5 − 500)/2,5 = −1,4
Réponse
t = −1,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 490,9
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 2,576·10/√16 = 6,44
Borne de l'intervalle
L = 497,3 − 6,44 = 490,9
Réponse
L = 490,9
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9863
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 507/6 = 84,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 401
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2362
Coefficient de corrélation
r = 401/√(70·2362) = 0,9863
Réponse
r = 0,9863
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 72
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 336/5 = 67,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192
Droite de régression
b = 192/40 = 4,8
a = 67,2 − 4,8·7 = 33,6
ŷ = 33,6 + 4,8·x
Prédiction
ŷ = 33,6 + 4,8·8 = 72
Réponse
ŷ = 72
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