Tu places €3 000 à un taux nominal de 4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 9 ans.
PV = €3 0004% / 12n = 9
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €8 000 est remboursé par mensualités égales sur 4 ans. Le taux d'intérêt est de 5,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €8 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Il génère €8 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 3 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF1 = €8 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €10 000 et rapporte €7 500, €3 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 3 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 11 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €850 quand le taux de rendement actuariel est de 7%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 11P = €850YTM = 7%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €1 070. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 5P = €1 070
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,6 a un rendement exigé de 13,1%. Le taux sans risque est de 3,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,6re = 13,1%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 4 000 000 actions cotant €15,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €30 000 000. Elle vient de verser un dividende de €1,60 par action, et les dividendes croissent de 4% par an. Sa dette a une valeur de marché de €18 000 000 et un coût avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 22, 17, 49, 24, 39, 36.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 45.
μ = 50σ = 5x = 45
z =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 4 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 4
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 4 bonnes réponses ?
n = 10p = 0,7k = 4
P =
13.Loi normaleMoyen
X est normale de moyenne 60 s et d’écart-type 5 s ; Y est indépendante et normale de moyenne 45 s et d’écart-type 4 s. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 110,1 s. Arrondissez z à deux décimales.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 110,1 s
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 25 % des valeurs (le 25e centile).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 30 éléments a une moyenne de 15,5 et un écart-type s = 10,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 30x̄ = 15,5s = 10,599%t(29) = 2,756
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 21 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 5,7 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 20, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 9,591 et 2,5 % au-dessus de 34,17.
n = 21s = 5,7 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 49,5 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 49,5s = 5n = 81
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,01 doit détecter un décalage de la moyenne de 3 unités avec une puissance de 95 %. L’écart-type vaut 9. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 6Σx = 21Σy = 119Σx² = 91Σy² = 2507Σxy = 368
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 18.
n = 6x = 18
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 4297 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 8 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €185,69
Réponse
A = €185,69
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 14286 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 8 000/(0,1 − 0,03) = 114 285,71
NPV
NPV = 114 285,71 − 100 000 = €14 285,71
Réponse
NPV = €14 285,71
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 7,545 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(5%) = 317,46
NPV(10%) = −289,26
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 5 + 5·317,46/(317,46 − (−289,26)) = 7,616%
exact: NPV(7,545%) = 0 → IRR = 7,545%
Réponse
IRR = 7,545%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 5 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,07)−11 = €475,09
Coupon
C = (850 − 475,09)/7,499 = €50,00
Taux du coupon
c = 50/1000 = 5%
Réponse
c = 5%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 2,494 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 070 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Résoudre numériquement
P(2%) = €1 094,27, P(3%) = €1 045,80
YTM = 2,494%
Réponse
YTM = 2,494%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 9,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (13,1% − 3,5%)/1,6 = 6%
Rendement du marché
rm = 3,5% + 6% = 9,5%
Réponse
rm = 9,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 12,12 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (45 − 50)/5 = −1
Réponse
z = −1
11.Probabilités
Réponse: P = 0,5177
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Réponse
P = 0,5177
12.Probabilités
Réponse: P = 0,03676
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la somme
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Centrer-réduire
z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8
Queue supérieure
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Réponse
P = 0,2119
14.Loi normale
Réponse: x = 173,3 cm
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Retour à x
x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm
Réponse
x = 173,28 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 5,283
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Marge d'erreur
E = 2,756·10,5/√30 = 5,283
Réponse
E = 5,283
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 4,361 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 20·5,7² = 649,8
Bornes pour σ²
649,8/34,17 = 19,02
649,8/9,591 = 67,75
Borne pour σ
σ = √19,02 = 4,361 µm
Réponse
σ = 4,361 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [4,361, 8,231] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −0,9
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Statistique de test
t = (49,5 − 50)/0,5556 = −0,9
Réponse
t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 142
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = ((2,326 + 1,645)·9/3)² = 141,9
Arrondir vers le haut
n = 142
Réponse
n = 142
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9568
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 368 − 21·119/6 = −48,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2507 − 119²/6 = 146,8
Coefficient de corrélation
r = −48,5/√(17,5·146,8) = −0,9568
Réponse
r = −0,9568
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 84,8
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 583/6 = 97,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 433
Droite de régression
b = 433/70 = 6,186
a = 97,17 − 6,186·20 = −26,55
ŷ = −26,55 + 6,186·x
Prédiction
ŷ = −26,55 + 6,186·18 = 84,8
Réponse
ŷ = 84,8
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