Tu places €8 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 4 ans.
PV = €8 0003,6% / 12n = 4
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €3 000 au début de chaque année pendant 10 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 3 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 10 ? Trouvez FV.
A = €3 000i = 3%n = 10
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €20 000, €24 000, €17 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €25 000, €24 500, €14 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 25 000CF2 = 24 500CF3 = 14 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 10 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4%) quand son taux de rendement actuariel est de 6%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 7,5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 10y0 = 6%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €895. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 5P = €895
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,7. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,6. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 3,5% et la prime de risque du marché de 5,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,7D/E = 0,6T = 25,8%rf = 3,5%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 17, 48, 13, 25, 45.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 48.
μ = 60σ = 15x = 48
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 1 € pour jouer. Vous gagnez 3 € avec la probabilité 0,1 et 20 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €1€3: p = 0,1€20: p = 0,05
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Quelle proportion se situe entre 244 et 256 g ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 256
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,05 mm et d’écart-type 0,015 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,015 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 20 éléments a une moyenne de 40,5 et un écart-type s = 11. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 20x̄ = 40,5s = 1195%t(19) = 2,093
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 27. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1,5 ?
σ = 27E = 1,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 50,93 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 50,93s = 8n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 119,9. L'écart-type de la population est 4. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 119,9σ = 4n = 4990%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 43 ?
n = 6ŷ = 43
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 9237 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,03)10 − 1)/0,03 = 11,46
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 3 000·11,46·1,03 = €35 423,39
Réponse
FV = €35 423,39
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −7410 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 20 000/1,08 = 18 518,52
CF2/(1 + 0,08)2 = 24 000/1,166 = 20 576,13
CF3/(1 + 0,08)3 = 17 000/1,26 = 13 495,15
Additionner
NPV = €−7 410,20
Réponse
NPV = €−7 410,20
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 30,63 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 327,72
NPV(35%) = −2 145,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Résoudre numériquement
P(6%) = €915,75, P(7%) = €876,99
YTM = 6,529%
Réponse
YTM = 6,529%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 12,57 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·14% + 0,1429·5%·(1 − 0,2) = 12,57%
Réponse
WACC = 12,57%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,064 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,7·(1 + 0,742·0,6) = 1,012
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3,5% + 1,012·5,5% = 9,064%
Réponse
re = 9,064%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 16,06
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (48 − 60)/15 = −0,8
Réponse
z = −0,8
11.Probabilités
Réponse: σ = 0,8047
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Moyenne des carrés
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variance
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047
Réponse
σ = 0,8047
12.Probabilités
Réponse: E(G) = 0,3 €
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 2 (p = 0,1), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)
Espérance
E(G) = 2·0,1 + 19·0,05 − 1·0,85 = 0,3 €
Réponse
E(G) = 0,3 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,7699
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2
z₂ = (256 − 250)/5 = 1,2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(1,2) − Φ(−1,2) = 0,8849 − 0,1151 = 0,7699
Réponse
P = 0,7699
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9909
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02121 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,05)/0,02121 = −2,36
Probabilités
P = 1 − Φ(−2,36) = 0,9909
Réponse
P = 0,9909
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 35,35
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Marge d'erreur
E = 2,093·11/√20 = 5,148
Intervalle
40,5 ± 5,148 → [35,35, 45,65]
Réponse
borne inférieure = 35,35
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 2150
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·27/1,5)² = 2150
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 2150
Réponse
n = 2150
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 0,6975
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Statistique de test
t = (50,93 − 50)/1,333 = 0,6975
Réponse
t = 0,6975
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 120,8
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,645·4/√49 = 0,94
Borne de l'intervalle
U = 119,9 + 0,94 = 120,8
Réponse
U = 120,8
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9098
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 53,2
Coefficient de détermination
r² = −22²/(10·53,2) = 0,9098
Réponse
r² = 0,9098
Environ 90,98 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 5,477
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 218/6 = 36,33
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59
Droite de régression
b = 59/17,5 = 3,371
a = 36,33 − 3,371·3,5 = 24,53
ŷ = 24,53 + 3,371·x
Résoudre pour x
x = (43 − 24,53)/3,371 = 5,477
Réponse
x = 5,477
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