Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €10 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1,5 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 5,5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €10 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €12 000 est remboursé par mensualités égales sur 4 ans. Le taux d'intérêt est de 3 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €12 0003% / 12N = 48
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €7 500, €7 000, €6 000, €5 000, €4 500 à la fin des années 1 à 5. Le coût du capital est de 12 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €15 500, €18 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 15 500CF2 = 18 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 3%n = 8
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €920. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%n = 4P = €920
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
E = €2 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 3%T = 30%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 4 000 000 actions à €47,50 chacune et 10 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 3,5% et la rentabilité du marché de 10%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 3,5%rm = 10%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 42, 31, 50, 37, 18, 49, 10.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 50.
μ = 60σ = 10x = 50
z =
11.ProbabilitésMoyen
Un sac contient 8 boules rouges et 7 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?
8 / 7
P =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 10 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 10p = 0,4
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,0436. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,0436
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 90 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 250 gσ = 5 g90%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 60 téléphones, moyenne 89 h, écart-type connu 7 h. Modèle 2 : 50 téléphones, moyenne 90 h, écart-type connu 8 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
Les diamètres de 20 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 0,8 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 19, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 8,907 et 2,5 % au-dessus de 32,852.
n = 20s = 0,8 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 8 étudiants, note moyenne 61,5, écart-type 12. Groupe 2 : 6 étudiants, note moyenne 75,2, écart-type 9,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 8x̄₁ = 61,5s₁ = 12n₂ = 6x̄₂ = 75,2s₂ = 9,5
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 203,4. L'écart-type de la population est 15. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 203,4σ = 15n = 4990%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 6
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 23 ?
n = 6ŷ = 23
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 250000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 12 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €265,61
Réponse
A = €265,61
3.VAN et TRI
Réponse: DPB = 4,108 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 7 500/1,12 = 6 696,43 → Σ = 6 696,43
année 2: 7 000/1,254 = 5 580,36 → Σ = 12 276,79
année 3: 6 000/1,405 = 4 270,68 → Σ = 16 547,47
année 4: 5 000/1,574 = 3 177,59 → Σ = 19 725,06
année 5: 4 500/1,762 = 2 553,42 → Σ = 22 278,48
Fraction de la dernière année
DPB = 4 + 274,94/2 553,42 = 4,108
Réponse
DPB = 4,108 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (2,917 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 21,34 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 416,67
NPV(25%) = −1 080,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,015, N = 16
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,788)/0,015 = €494,59
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,788 = €788,03
Prix
P = €1 282,63
Réponse
P = €1 282,63
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 10,55 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€920 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(10%) = €936,60, P(11%) = €906,93
YTM = 10,55%
Réponse
YTM = 10,55%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 3,825 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·9% + 0,75·3%·(1 − 0,3) = 3,825%
Réponse
WACC = 3,825%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 11,57 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (50 − 60)/10 = −1
Réponse
z = −1
11.Probabilités
Réponse: P = 0,2667
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667
Réponse
P = 0,2667
12.Probabilités
Réponse: P = 0,04636
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,610 = 0,006047
P(X = 1) = 10·0,4·0,69 = 0,04031
Les additionner
P = 0,006047 + 0,04031 = 0,04636
Réponse
P = 0,04636
13.Loi normale
Réponse: z = 1,71
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,0436 = 0,9564
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9564 dans la table et lisez z.
z = 1,71
Réponse
z = 1,71
14.Loi normale
Réponse: x = 256,4 g
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,9
z d’après la table
z ≈ 1,28
Retour aux unités d’origine
x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g
Réponse
x = 256,4 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 1,838 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 89 − 90 = −1
Erreur type
SE = √(7²/60 + 8²/50) = 1,448
Marge d'erreur
E = 1,96·1,448 = 2,838
Intervalle
−1 ± 2,838 → [−3,838, 1,838]
Réponse
borne supérieure = 1,838 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 1,168 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 19·0,8² = 12,16
Bornes pour σ²
12,16/32,852 = 0,3701
12,16/8,907 = 1,365
Borne pour σ
σ = √1,365 = 1,168 µm
Réponse
σ = 1,168 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [0,6084, 1,168] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,3
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (7·12² + 5·9,5²)/12 = 121,6
sp = 11,03
Erreur type
SE = 11,03·√(1/8 + 1/6) = 5,955
Statistique de test
t = (61,5 − 75,2)/5,955 = −2,3
Réponse
t = −2,3
Avec df = 12, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,179 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 206,9
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,645·15/√49 = 3,525
Borne de l'intervalle
U = 203,4 + 3,525 = 206,9
Réponse
U = 206,9
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9786
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 387/6 = 64,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 207
Syy = Σ(y − ȳ)² = 625,5
Coefficient de détermination
r² = 207²/(70·625,5) = 0,9786
Réponse
r² = 0,9786
Environ 97,86 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 4,491
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 147/6 = 24,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26,5
Droite de régression
b = −26,5/17,5 = −1,514
a = 24,5 − (−1,514)·3,5 = 29,8
ŷ = 29,8 − 1,514·x
Résoudre pour x
x = (23 − 29,8)/(−1,514) = 4,491
Réponse
x = 4,491
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