Tu places €5 000 à un taux nominal de 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 9 ans.
PV = €5 0005% / 4n = 9
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €30 000 est remboursé par mensualités constantes sur 3 ans à 6 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €30 0006% / 12N = 36
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €8 000, €8 000, €8 000. Le coût du capital est de 12 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €80 000 aujourd’hui. Son flux vaut €18 000 à la fin de l’année 1 et croît de 3 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 4. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €80 000CF1 = €18 000g = 3%n = 4r = 8%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 12 ans. Le taux de rendement actuariel est de 7% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 7%n = 12
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €955. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 5P = €955
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
E = €2 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,2. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,5. Le taux d’imposition est de 21%, le taux sans risque de 2% et la prime de risque du marché de 7%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 21%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 54, 10, 56, 10, 27, 16.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 88 ?
μ = 100σ = 15x = 88
P =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 6 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 6
P =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 6 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 6p = 0,4
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 30,5 et 38 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 30,5x2 = 38
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,02 mm et d’écart-type 0,02 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 6 éléments a une moyenne de 23,5 et un écart-type s = 10. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 6x̄ = 23,5s = 1095%t(5) = 2,571
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 18. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?
σ = 18E = 0,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 48,88 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 48,88s = 10n = 64
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 299%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 20 ?
n = 5ŷ = 20
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 7820 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,005, N = 36
A = 30 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−36) = €912,66
Total des intérêts
I = N·A − P = 36·912,7 − 30 000 = €2 855,69
Réponse
I = €2 855,69
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −785,3 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 8 000/1,12 = 7 142,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 8 000/1,254 = 6 377,55
CF3/(1 + 0,12)3 = 8 000/1,405 = 5 694,24
Additionner
NPV = €−785,35
Réponse
NPV = €−785,35
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −17822 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 759,1 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €20,00, i = 0,035, N = 24
Valeur actuelle des coupons
€20,00·(1 − 0,438)/0,035 = €321,17
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,438 = €437,96
Prix
P = €759,12
Réponse
P = €759,12
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 4,011 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€955 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Résoudre numériquement
P(4%) = €955,48, P(5%) = €913,41
YTM = 4,011%
Réponse
YTM = 4,011%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·5%·(1 − 0,2) = 6,5%
Réponse
WACC = 6,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 13,72 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 1,2·(1 + 0,79·0,5) = 1,674
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2% + 1,674·7% = 13,72%
Réponse
re = 13,72%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 21,21
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Réponse
P = 0,2119
11.Probabilités
Réponse: P = 0,6651
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Réponse
P = 0,6651
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2333
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,66 = 0,04666
P(X = 1) = 6·0,4·0,65 = 0,1866
Les additionner
P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333
Réponse
P = 0,2333
13.Loi normale
Réponse: P = 0,4401
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25
z₂ = (38 − 32)/6 = 1
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(1) − Φ(−0,25) = 0,8413 − 0,4013 = 0,4401
Réponse
P = 0,4401
14.Loi normale
Réponse: P = 0,8133
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Probabilités
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Réponse
P = 0,8133
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 10,5
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 5, t = 2,571
Marge d'erreur
E = 2,571·10/√6 = 10,5
Réponse
E = 10,5
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 8600
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·18/0,5)² = 8600
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 8600
Réponse
n = 8600
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −0,896
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Statistique de test
t = (48,88 − 50)/1,25 = −0,896
Réponse
t = −0,896
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 374
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·15/2)² = 373,3
Arrondir vers le haut
n = 374
Réponse
n = 374
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9914
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 562/6 = 93,67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 452
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2969
Coefficient de corrélation
r = 452/√(70·2969) = 0,9914
Réponse
r = 0,9914
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 2,6
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Droite de régression
b = −30/10 = −3
a = 18,8 − (−3)·3 = 27,8
ŷ = 27,8 − 3·x
Résoudre pour x
x = (20 − 27,8)/(−3) = 2,6
Réponse
x = 2,6
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