Tu as besoin de €5 000 dans 10 ans. Un compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €5 0003,6% / 12n = 10
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €150 à la fin de chaque mois pendant 24 ans. Le compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1503,6% / 12N = 288
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €8 000, €5 000, €6 000. Le coût du capital est de 6 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €50 000 et rapporte €22 000, €30 000, €29 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 22 000CF2 = 30 000CF3 = 29 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 5 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 8%n = 5
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 5 ans et se vend €940. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 5P = €940
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €4 000 000, des actions privilégiées valant €500 000 et une dette valant €5 000 000. Le coût des capitaux propres est de 10%, le coût des actions privilégiées de 6% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions à €18,50 chacune et 20 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 6,5%. Trouvez le WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 6,5%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 47, 42, 30, 42, 30.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 20 ?
μ = 60σ = 20x = 20
P =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 4 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 4
P =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 7 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,1, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 7p = 0,1
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,5878. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,5878
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 10 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 250 gσ = 5 g10%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 éléments a une moyenne de 117,5 et un écart-type s = 1,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 25x̄ = 117,5s = 1,599%t(24) = 2,797
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 23. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?
σ = 23E = 2,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 14 étudiants, note moyenne 57, écart-type 6,5. Groupe 2 : 8 étudiants, note moyenne 52, écart-type 9. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 14x̄₁ = 57s₁ = 6,5n₂ = 8x̄₂ = 52s₂ = 9
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1 ? L'écart-type est 10. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 10E = 199%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 5Σx = 30Σy = 127Σx² = 220Σy² = 3903Σxy = 926
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (5, 20). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(5, 20)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 3490 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·10 = 120
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,433 = €3 490,26
Réponse
PV = €3 490,26
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 68478 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €43 200 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2965 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 8 000/1,06 = 7 547,17
CF2/(1 + 0,06)2 = 5 000/1,124 = 4 449,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 6 000/1,191 = 5 037,72
Additionner
NPV = €−2 965,13
Réponse
NPV = €−2 965,13
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 27,42 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 1 904,00
NPV(30%) = −1 898,04
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, i = 0,04, N = 10
Valeur actuelle des coupons
€30,00·(1 − 0,6756)/0,04 = €243,33
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,6756 = €675,56
Prix
P = €918,89
Réponse
P = €918,89
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 7,482 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€940 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Résoudre numériquement
P(7%) = €959,00, P(8%) = €920,15
YTM = 7,482%
Réponse
YTM = 7,482%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,698 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 5 000 000·€18,50 = €92 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 0,9·5% = 6%
Pondérations
V = €112 900 000, E/V = 0,8193, D/V = 0,1807
WACC
WACC = 0,8193·6% + 0,1807·6%·(1 − 0,258) = 5,72%
Réponse
WACC = 5,72%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 7,759
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −2
Table de la loi normale
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Réponse
P = 0,02275
11.Probabilités
Réponse: P = 0,5177
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Réponse
P = 0,5177
12.Probabilités
Réponse: P = 0,8503
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,97 = 0,4783
P(X = 1) = 7·0,1·0,96 = 0,372
Les additionner
P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503
Réponse
P = 0,8503
13.Loi normale
Réponse: z = 0,82
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,5878)/2 = 0,7939
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,7939 dans la table et lisez z.
z = 0,82
Réponse
z = 0,82
14.Loi normale
Réponse: x = 243,6 g
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,1
z d’après la table
z ≈ −1,28
Retour aux unités d’origine
x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g
Réponse
x = 243,6 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 118,3
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Marge d'erreur
E = 2,797·1,5/√25 = 0,8391
Intervalle
117,5 ± 0,8391 → [116,7, 118,3]
Réponse
borne supérieure = 118,3
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 562
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·23/2,5)² = 561,7
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 562
Réponse
n = 562
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,51
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (13·6,5² + 7·9²)/20 = 55,81
sp = 7,471
Erreur type
SE = 7,471·√(1/14 + 1/8) = 3,311
Statistique de test
t = (57 − 52)/3,311 = 1,51
Réponse
t = 1,51
Avec df = 20, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,086 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 664
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·10/1)² = 663,6
Arrondir vers le haut
n = 664
Réponse
n = 664
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9964
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 926 − 30·127/5 = 164
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3903 − 127²/5 = 677,2
Coefficient de corrélation
r = 164/√(40·677,2) = 0,9964
Réponse
r = 0,9964
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −2,714
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 186/6 = 31
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290
Droite de régression
b = 290/70 = 4,143
a = 31 − 4,143·7 = 2
ŷ = 2 + 4,143·x
Valeur prédite
ŷ = 2 + 4,143·5 = 22,71
Résidu
e = 20 − 22,71 = −2,714
Réponse
e = −2,714
Le point se trouve en dessous de la droite.
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