Une annuité verse €1 500 à la fin de chaque année pendant 11 ans. Le taux d’intérêt est de 7 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €1 500i = 7%n = 11
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €25 000 dans 14 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 6 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €25 0006% / 12N = 168
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €5 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €20 000M = €5 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €11 500, €11 000, €11 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 11 000CF3 = 11 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 9 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 8%n = 9
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €1 055. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 4P = €1 055
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 1. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
D/E = 1re = 11%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,2. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 28%, le taux sans risque de 3% et la prime de risque du marché de 4,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Quelle proportion se situe entre 70,75 et 123,25 points ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 123,25
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 20 % des valeurs (le 20e centile).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 49,5 et un écart-type s = 8,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 8x̄ = 49,5s = 8,599%t(7) = 3,499
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 16. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 4 ?
σ = 16E = 490%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 96,1 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 96,1s = 15n = 100
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 81 mesures a une moyenne de 116. L'écart-type de la population est 15. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 116σ = 15n = 8195%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (9, 12). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(9, 12)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 11248 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4751)/0,07 = 7,499
Valeur actuelle
PV = 1 500·7,499 = €11 248,01
Réponse
PV = €11 248,01
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 95,31 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Prix d’achat annualisé
20 000/5,759 = 3 472,81
EAC
EAC = 3 472,81 + 5 000 = €8 472,81
Réponse
EAC = €8 472,81
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 16,33 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(15%) = 550,26
NPV(20%) = −1 412,04
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €15,00, i = 0,04, N = 18
Valeur actuelle des coupons
€15,00·(1 − 0,4936)/0,04 = €189,89
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,4936 = €493,63
Prix
P = €683,52
Réponse
P = €683,52
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 2,537 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 055 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(2%) = €1 076,15, P(3%) = €1 037,17
YTM = 2,537%
Réponse
YTM = 2,537%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,685 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Poids à partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 6,685%
Réponse
WACC = 6,685%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,058 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1/(1 + 0,72·0,2) = 0,8741
Réendetter au nouveau D/E
βL = 0,8741·(1 + 0,72·0,75) = 1,346
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3% + 1,346·4,5% = 9,058%
Réponse
re = 9,058%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 19,94
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (182 − 170)/12 = 1
Réponse
z = 1
11.Probabilités
Réponse: P = 0,1282
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282
Réponse
P = 0,1282
12.Probabilités
Réponse: σY = 0,55
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Dispersion de X
μ = 2,7, Var(X) = 1,21, σX = 1,1
Changement linéaire
σY = |0,5|·1,1 = 0,55
Réponse
σY = 0,55
La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 0,5·2,7 + 20 = 21,35.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,9138
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Retour à x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 points
Réponse
x = 56,58 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 10,52
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Marge d'erreur
E = 3,499·8,5/√8 = 10,52
Réponse
E = 10,52
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 44
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,645·16/4)² = 43,3
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 44
Réponse
n = 44
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,6
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Statistique de test
t = (96,1 − 100)/1,5 = −2,6
Réponse
t = −2,6
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 112,7
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,96·15/√81 = 3,267
Borne de l'intervalle
L = 116 − 3,267 = 112,7
Réponse
L = 112,7
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,6025
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 242/5 = 48,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Syy = Σ(y − ȳ)² = 351,2
Coefficient de détermination
r² = 92²/(40·351,2) = 0,6025
Réponse
r² = 0,6025
Environ 60,25 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −4,005
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 77/6 = 12,83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111
Droite de régression
b = 111/70 = 1,586
a = 12,83 − 1,586·7 = 1,733
ŷ = 1,733 + 1,586·x
Valeur prédite
ŷ = 1,733 + 1,586·9 = 16
Résidu
e = 12 − 16 = −4,005
Réponse
e = −4,005
Le point se trouve en dessous de la droite.
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