Tu as besoin de €20 000 dans 4 ans. Un compte rapporte 6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €20 0006% / 12n = 4
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €50 à la fin de chaque mois pendant 26 ans. Le compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €503,6% / 12N = 312
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €27 000, €37 000, €25 000, €22 000. Le coût du capital est de 7,000000000000001 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €50 000 et rapporte €19 000, €22 500, €36 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 19 000CF2 = 22 500CF3 = 36 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% et arrive à échéance dans 11 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 9% à 11%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 8%n = 11y1 = 9%y2 = 11%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 9 ans et se vend €1 170. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 9P = €1 170
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €5 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1,2. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1. Le taux d’imposition est de 30%, le taux sans risque de 3,5% et la prime de risque du marché de 6%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 1,2D/E = 1T = 30%rf = 3,5%rm − rf = 6%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 15, 50, 23, 20, 60, 40.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 122,5 ?
μ = 100σ = 15x = 122,5
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,3, 0,05, 0,25
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 10 € pour jouer. Vous gagnez 30 € avec la probabilité 0,25 et 200 € avec la probabilité 0,01 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €10€30: p = 0,25€200: p = 0,01
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 440 et 582 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 440x2 = 582
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 80 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
μ = 65 pointsσ = 10 points80%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 30 téléphones, moyenne 56 h, écart-type connu 13 h. Modèle 2 : 100 téléphones, moyenne 68 h, écart-type connu 5 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
L’écart-type de la population est 9. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1,5 ?
σ = 9E = 1,595%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 50 pièces a une longueur moyenne de 114 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 11 mm. Ligne 2 : un échantillon de 30 pièces a une moyenne de 119,9 mm, écart-type connu 12 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 198,3. L'écart-type de la population est 4. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 198,3σ = 4n = 4990%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 24,5.
n = 6x = 24,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 15742 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·4 = 48
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,27 = €15 741,97
Réponse
PV = €15 741,97
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 25770 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €15 600 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 19742 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 27 000/1,07 = 25 233,64
CF2/(1 + 0,07)2 = 37 000/1,145 = 32 317,23
CF3/(1 + 0,07)3 = 25 000/1,225 = 20 407,45
CF4/(1 + 0,07)4 = 22 000/1,311 = 16 783,69
Additionner
NPV = €19 742,02
Réponse
NPV = €19 742,02
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 22,6 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 2 291,67
NPV(25%) = −1 968,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 170 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Résoudre numériquement
P(1%) = €1 171,32, P(2%) = €1 081,62
YTM = 1,014%
Réponse
YTM = 1,014%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,457 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·9% + 0,2857·4,5%·(1 − 0,2) = 7,457%
Réponse
WACC = 7,457%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 15,74 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 1,2·(1 + 0,7·1) = 2,04
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3,5% + 2,04·6% = 15,74%
Réponse
re = 15,74%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 18,13
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1,5
Table de la loi normale
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Réponse
P = 0,9332
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 1,59
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 20 (p = 0,25), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,74)
Espérance
E(G) = 20·0,25 + 190·0,01 − 10·0,74 = −0,5 €
Réponse
E(G) = −0,5 €
Une valeur négative signifie que vous perdez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: P = 0,913
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5
z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(2,05) − Φ(−1,5) = 0,9798 − 0,06681 = 0,913
Réponse
P = 0,913
14.Loi normale
Réponse: x = 73,4 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,8
z d’après la table
z ≈ 0,84
Retour aux unités d’origine
x = 65 + 0,84·10 = 73,4 points
Réponse
x = 73,4 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −16,75 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 56 − 68 = −12
Erreur type
SE = √(13²/30 + 5²/100) = 2,426
Marge d'erreur
E = 1,96·2,426 = 4,754
Intervalle
−12 ± 4,754 → [−16,75, −7,246]
Réponse
borne inférieure = −16,75 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 139
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·9/1,5)² = 138,3
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 139
Réponse
n = 139
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −2,196
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(11²/50 + 12²/30) = √7,22 = 2,687
Statistique de test
z = (114 − 119,9)/2,687 = −2,196
Réponse
z = −2,196
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 197,4
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,645·4/√49 = 0,94
Borne de l'intervalle
L = 198,3 − 0,94 = 197,4
Réponse
L = 197,4
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9834
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 2381 − 33·418/6 = 82
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 29518 − 418²/6 = 397,3
Coefficient de corrélation
r = 82/√(17,5·397,3) = 0,9834
Réponse
r = 0,9834
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 143,8
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 751/6 = 125,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 976,5
Droite de régression
b = 976,5/157,5 = 6,2
a = 125,2 − 6,2·21,5 = −8,133
ŷ = −8,133 + 6,2·x
Prédiction
ŷ = −8,133 + 6,2·24,5 = 143,8
Réponse
ŷ = 143,8
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