Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 18 % par an, capitalisé semestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 18%m = 2
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €15 000 est remboursé par mensualités égales sur 6 ans. Le taux d'intérêt est de 4,2 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €15 0004,2% / 12N = 72
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €34 000, €34 000, €28 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €18 000, €19 000, €23 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 18 000CF2 = 19 000CF3 = 23 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 5 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 5,5%n = 5
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €930. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 10P = €930
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €5 000 000, des actions privilégiées valant €1 000 000 et une dette valant €5 000 000. Le coût des capitaux propres est de 14%, le coût des actions privilégiées de 7,5% et le coût de la dette avant impôt de 5%. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 500 000 actions à €40,00 chacune et 20 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 0,8, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.
β = 0,8rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 27, 17, 24, 49, 51.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 88 ?
μ = 100σ = 8x = 88
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 9 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,5, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 9p = 0,5
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,6680. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,6680
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 75 % des valeurs (le 75e centile).
μ = 65σ = 10P = 75%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 30 éléments a une moyenne de 120 et un écart-type s = 9,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 30x̄ = 120s = 9,599%t(29) = 2,756
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 20 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 4 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 19, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 8,907 et 2,5 % au-dessus de 32,852.
n = 20s = 4 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 120 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 5. Un échantillon aléatoire de 100 observations a une moyenne de 120,78. Testez H₀ : μ = 120 contre H₁ : μ ≠ 120. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 120σ = 5n = 100x̄ = 120,78H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 16 mesures a une moyenne de 90. L'écart-type de la population est 20. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 90σ = 20n = 1695%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 21,5.
n = 5x = 21,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 18,81 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,18/2 = 0,09
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,09)2 − 1 = 1,188 − 1 = 18,81%
Réponse
EAR = 18,81%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 236 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·6 = 72
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,7776
A = 15 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €236,05
Réponse
A = €236,05
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −1315 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 34 000/1,15 = 29 565,22
CF2/(1 + 0,15)2 = 34 000/1,322 = 25 708,88
CF3/(1 + 0,15)3 = 28 000/1,521 = 18 410,45
Additionner
NPV = €−1 315,44
Réponse
NPV = €−1 315,44
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 22,72 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 1 793,98
NPV(25%) = −1 408,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €20,00, i = 0,0275, N = 10
Valeur actuelle des coupons
€20,00·(1 − 0,7624)/0,0275 = €172,80
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,7624 = €762,40
Prix
P = €935,20
Réponse
P = €935,20
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 6,996 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Résoudre numériquement
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €929,76
YTM = 6,996%
Réponse
YTM = 6,996%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,732 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,5
Table de la loi normale
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Réponse
P = 0,06681
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 0,6475
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Moyenne des carrés
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Variance
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Réponse
Var(X) = 0,6475
12.Probabilités
Réponse: P = 0,01953
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,59 = 0,001953
P(X = 1) = 9·0,5·0,58 = 0,01758
Les additionner
P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953
Réponse
P = 0,01953
13.Loi normale
Réponse: z = 0,97
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,6680)/2 = 0,8340
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,8340 dans la table et lisez z.
z = 0,97
Réponse
z = 0,97
14.Loi normale
Réponse: x = 71,75 points
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Retour à x
x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 points
Réponse
x = 71,75 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 115,2
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Marge d'erreur
E = 2,756·9,5/√30 = 4,78
Intervalle
120 ± 4,78 → [115,2, 124,8]
Réponse
borne inférieure = 115,2
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 3,042 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 19·4² = 304
Bornes pour σ²
304/32,852 = 9,254
304/8,907 = 34,13
Borne pour σ
σ = √9,254 = 3,042 µm
Réponse
σ = 3,042 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [3,042, 5,842] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,1188
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 5/√100 = 0,5
z = (120,78 − 120)/0,5 = 1,56
Aire de la queue
Φ(1,56) = 0,9406
1 − Φ(1,56) = 0,0594
Valeur p
p = 2·0,0594 = 0,1188
Réponse
p = 0,1188
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 99,8
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,96·20/√16 = 9,8
Borne de l'intervalle
U = 90 + 9,8 = 99,8
Réponse
U = 99,8
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9863
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 117/6 = 19,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 187,5
Coefficient de corrélation
r = −56,5/√(17,5·187,5) = −0,9863
Réponse
r = −0,9863
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 125,5
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 586/5 = 117,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 501
Droite de régression
b = 501/90 = 5,567
a = 117,2 − 5,567·20 = 5,867
ŷ = 5,867 + 5,567·x
Prédiction
ŷ = 5,867 + 5,567·21,5 = 125,5
Réponse
ŷ = 125,5
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