Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €12 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 4 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 10 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €12 000g = 4%r = 10%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €200 000 est remboursé par mensualités égales sur 30 ans. Le taux d'intérêt est de 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €200 0004,8% / 12N = 360
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €100 000 aujourd’hui. Elle génère €18 500 à la fin de chaque année pendant 6 ans et peut ensuite être revendue €15 000. Le coût du capital est de 6 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF = €18 500S = €15 000n = 6r = 6%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €40 000 et rapporte €13 000, €15 500, €15 500, €20 500 à la fin des années 1 à 4. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 6 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 7% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 7%n = 10
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Elle se vend €937. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5% (2×)n = 8P = €937
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €4 000 000 et une dette valant €3 000 000. Son WACC est de 6,59%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €10 000 000 et un coût des capitaux propres de 10%. Sa dette se compose de 4 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%, 8 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 067 chacune. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 60, 15, 55, 55, 46, 45, 57.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 192,5 ?
μ = 170σ = 15x = 192,5
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,1, 0,25
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 12 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,5, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?
n = 12p = 0,5k = 2
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 436 et 562 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 562
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 99 % des valeurs (le 99e centile).
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 100 téléphones, moyenne 132,5 h, écart-type connu 14 h. Modèle 2 : 100 téléphones, moyenne 129 h, écart-type connu 3 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
L’écart-type de la population est 23. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?
σ = 23E = 199%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 93,36 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 93,36s = 15n = 49
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 100 mesures a une moyenne de 501,4. L'écart-type de la population est 5. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 501,4σ = 5n = 10099%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 31 ?
n = 5ŷ = 31
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 200000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·30 = 360
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,2376
A = 200 000·0,004/(1 − 0,2376) = €1 049,33
Réponse
A = €1 049,33
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 1545 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valeur terminale des encaissements
13 000·1,063 = 15 483,21
15 500·1,062 = 17 415,80
15 500·1,061 = 16 430,00
20 500·1,060 = 20 500,00
TV = 69 829,01
MIRR
MIRR = (69 829,01/40 000)1/4 − 1 = 14,95%
Réponse
MIRR = 14,95%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 928,9 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, i = 0,035, N = 20
Valeur actuelle des coupons
€30,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €426,37
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5026 = €502,57
Prix
P = €928,94
Réponse
P = €928,94
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 6,003 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €25,00, N = 16
Résoudre numériquement
i = 3,002% par semestre
YTM
YTM = 2·3,002% = 6,003%
Réponse
YTM = 6,003%
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,001 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
Part de la dette dans le WACC
0,4286·4,5%·(1 − 0,25) = 1,446%
Coût des capitaux propres
re = (6,59% − 1,446%)/0,5714 = 9,001%
Réponse
re = 9,001%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,907 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1,5
Table de la loi normale
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Réponse
P = 0,06681
11.Probabilités
Réponse: σ = 1,568
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6
z₂ = (562 − 500)/40 = 1,55
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(1,55) − Φ(−1,6) = 0,9394 − 0,0548 = 0,8846
Réponse
P = 0,8846
14.Loi normale
Réponse: x = 261,6 g
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Retour à x
x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g
Réponse
x = 261,63 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 3,688 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 132,5 − 129 = 3,5
Erreur type
SE = √(14²/100 + 3²/100) = 1,432
Marge d'erreur
E = 2,576·1,432 = 3,688
Réponse
E = 3,688 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 3511
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·23/1)² = 3510
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 3511
Réponse
n = 3511
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,099
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143
Statistique de test
t = (93,36 − 100)/2,143 = −3,099
Réponse
t = −3,099
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 500,1
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 2,576·5/√100 = 1,288
Borne de l'intervalle
L = 501,4 − 1,288 = 500,1
Réponse
L = 500,1
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,8767
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 293/5 = 58,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Syy = Σ(y − ȳ)² = 467,2
Coefficient de détermination
r² = 64²/(10·467,2) = 0,8767
Réponse
r² = 0,8767
Environ 87,67 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 4,385
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 150/5 = 30
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26
Droite de régression
b = 26/10 = 2,6
a = 30 − 2,6·4 = 19,6
ŷ = 19,6 + 2,6·x
Résoudre pour x
x = (31 − 19,6)/2,6 = 4,385
Réponse
x = 4,385
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