Vous placez €10 000 à 6 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 18 ans.
PV = €10 000r = 6%t = 18
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 23 ans. Le compte rapporte 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1004,8% / 12N = 276
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €4 000, €7 000, €7 500, €4 500, €7 500, €6 500 à la fin des années 1 à 6. Le coût du capital est de 8 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €16 000, €17 500, €10 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 17 500CF3 = 10 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 5,5%n = 10
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €950. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 3P = €950
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €4 000 000 et une dette valant €2 000 000. Son WACC est de 9,85%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 2 500 000 actions à €32,50 chacune et 5 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3,5% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,8, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,8rf = 1,5%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 37, 26, 49, 56, 45, 45, 31.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 100.
μ = 60σ = 20x = 100
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 10 € pour jouer. Vous gagnez 50 € avec la probabilité 0,15 et 200 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €10€50: p = 0,15€200: p = 0,05
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,6808. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,6808
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 90 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 65 pointsσ = 10 points90%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 100 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 1,2. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 90 % fondé sur 25 observations ?
99%n₁ = 100E₁ = 1,290%n₂ = 25
E₂ =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 32. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
σ = 32E = 399%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 69,83 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 69,83s = 10n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral au seuil α = 0,01 doit détecter un décalage de la moyenne de 2 unités avec une puissance de 90 %. L’écart-type vaut 13. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (27,5, 130). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(27,5, 130)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 29447 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,06·18 = 1,08
e1,08 = 2,945
Valeur future
FV = 10 000·2,945 = €29 446,80
Réponse
FV = €29 446,80
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 50239 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €27 600 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: DPB = 4,202 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 4 000/1,08 = 3 703,70 → Σ = 3 703,70
année 2: 7 000/1,166 = 6 001,37 → Σ = 9 705,08
année 3: 7 500/1,26 = 5 953,74 → Σ = 15 658,82
année 4: 4 500/1,36 = 3 307,63 → Σ = 18 966,45
année 5: 7 500/1,469 = 5 104,37 → Σ = 24 070,83
Fraction de la dernière année
DPB = 4 + 1 033,55/5 104,37 = 4,202
Réponse
DPB = 4,202 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,333 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 37,28 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(35%) = 721,69
NPV(40%) = −816,33
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 35 + 5·721,69/(721,69 − (−816,33)) = 37,35%
exact: NPV(37,28%) = 0 → IRR = 37,28%
Réponse
IRR = 37,28%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1190 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, i = 0,0275, N = 20
Valeur actuelle des coupons
€40,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €609,09
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5813 = €581,25
Prix
P = €1 190,34
Réponse
P = €1 190,34
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 8,974 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Résoudre numériquement
P(8%) = €974,23, P(9%) = €949,37
YTM = 8,974%
Réponse
YTM = 8,974%
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 13 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Part de la dette dans le WACC
0,3333·4,5%·(1 − 0,21) = 1,185%
Coût des capitaux propres
re = (9,85% − 1,185%)/0,6667 = 13%
Réponse
re = 13%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 13,41 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (100 − 60)/20 = 2
Réponse
z = 2
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 0,8475
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,95
Moyenne des carrés
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,65
Variance
Var(X) = 4,65 − 1,95² = 0,8475
Réponse
Var(X) = 0,8475
12.Probabilités
Réponse: E(G) = 7,5 €
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 40 (p = 0,15), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,8)
Espérance
E(G) = 40·0,15 + 190·0,05 − 10·0,8 = 7,5 €
Réponse
E(G) = 7,5 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: z = −0,47
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,6808 = 0,3192
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,3192 dans la table et lisez z.
z = −0,47
Réponse
z = −0,47
14.Loi normale
Réponse: x = 52,2 points
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,1
z d’après la table
z ≈ −1,28
Retour aux unités d’origine
x = 65 − 1,28·10 = 52,2 points
Réponse
x = 52,2 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E₂ = 1,533
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapport des marges
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/25) = 1,277
Nouvelle marge
E₂ = 1,2·1,277 = 1,533
Réponse
E₂ = 1,533
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 756
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·32/3)² = 755
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 756
Réponse
n = 756
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,102
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Statistique de test
t = (69,83 − 75)/1,667 = −3,102
Réponse
t = −3,102
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 550
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = ((2,326 + 1,282)·13/2)² = 550
Arrondir vers le haut
n = 550
Réponse
n = 550
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9795
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 1718 − 25·330/5 = 68
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 22262 − 330²/5 = 482
Coefficient de corrélation
r = 68/√(10·482) = 0,9795
Réponse
r = 0,9795
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −4,419
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 620/6 = 103,3
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 816
Droite de régression
b = 816/157,5 = 5,181
a = 103,3 − 5,181·21,5 = −8,057
ŷ = −8,057 + 5,181·x
Valeur prédite
ŷ = −8,057 + 5,181·27,5 = 134,4
Résidu
e = 130 − 134,4 = −4,419
Réponse
e = −4,419
Le point se trouve en dessous de la droite.
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