Vous placez €2 000 à 2 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 5 ans.
PV = €2 000r = 2%t = 5
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €25 000 à 6 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €600 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €25 000A = €6006% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Il génère €13 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 1 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 11 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF1 = €13 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui. Son flux vaut €6 500 à la fin de l’année 1 et croît de 2 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 7. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €50 000CF1 = €6 500g = 2%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 8%n = 11
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Elle se vend €804. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 2% (2×)n = 8P = €804
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €3 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €49,50 chacune et 20 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 0,6, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.
β = 0,6rf = 1,5%rm = 7,5%rd = 7%T = 25%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 57, 42, 16, 56, 21.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 12. Trouve le score z z d'une note de 85.
μ = 70σ = 12x = 85
z =
11.ProbabilitésMoyen
Un sac contient 5 boules rouges et 6 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?
5 / 6
P =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 12 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 12p = 0,2
P =
13.Loi normaleMoyen
Les masses de passagers avec bagages sont indépendantes et normales, de moyenne 85 kg et d’écart-type 12 kg. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 4 d’entre eux dépasse 352 kg. Arrondissez z à deux décimales.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 352 kg
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 75 % des valeurs (le 75e centile).
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 40 téléphones, moyenne 134 h, écart-type connu 14 h. Modèle 2 : 50 téléphones, moyenne 142,5 h, écart-type connu 9 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
Les diamètres de 20 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 4,3 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 19, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 8,907 et 2,5 % au-dessus de 32,852.
n = 20s = 4,3 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
8 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 9,39 et l’écart-type des différences 8,3. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 8d̄ = 9,39sd = 8,3
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 50 contre H₁ : μ > 50 est réalisé au seuil α = 0,01 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 6. En réalité, la moyenne vaut 51,8. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 50μ = 51,8σ = 6n = 36α = 0,01
1 − β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (4,5, 53). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 53)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 2210 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,02·5 = 0,1
e0,1 = 1,105
Valeur future
FV = 2 000·1,105 = €2 210,34
Réponse
FV = €2 210,34
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 47 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,005/600 = 0,7917
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,7917)/ln(1,005) = 46,84
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
46 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 47
Réponse
N = 47 versements
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 30000 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 13 000/(0,11 − 0,01) = 130 000,00
NPV
NPV = 130 000,00 − 100 000 = €30 000,00
Réponse
NPV = €30 000,00
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −18774 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de l’annuité croissante
((1,02)/(1,12))7 = 0,5196
PV = 6 500/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,5196) = 31 225,54
NPV
NPV = 31 225,54 − 50 000 = −€18 774,46
Réponse
NPV = −€18 774,46
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 855,5 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, i = 0,04, N = 22
Valeur actuelle des coupons
€30,00·(1 − 0,422)/0,04 = €433,53
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,422 = €421,96
Prix
P = €855,49
Réponse
P = €855,49
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 5,003 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €10,00, N = 16
Résoudre numériquement
i = 2,502% par semestre
YTM
YTM = 2·2,502% = 5,003%
Réponse
YTM = 5,003%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,56 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·7%·(1 − 0,2) = 8,56%
Réponse
WACC = 8,56%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,144 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (85 − 70)/12 = 1,25
Réponse
z = 1,25
11.Probabilités
Réponse: P = 0,1818
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0,1818
Réponse
P = 0,1818
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2749
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,812 = 0,06872
P(X = 1) = 12·0,2·0,811 = 0,2062
Les additionner
P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749
Réponse
P = 0,2749
13.Loi normale
Réponse: P = 0,3085
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi du total
μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg
Centrer-réduire
z = (352 − 340)/24 = 0,5
Probabilités
P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085
Réponse
P = 0,3085
14.Loi normale
Réponse: x = 182,7 cm
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Retour à x
x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm
Réponse
x = 182,72 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = −3,495 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 134 − 142,5 = −8,5
Erreur type
SE = √(14²/40 + 9²/50) = 2,553
Marge d'erreur
E = 1,96·2,553 = 5,005
Intervalle
−8,5 ± 5,005 → [−13,5, −3,495]
Réponse
borne supérieure = −3,495 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 3,27 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 19·4,3² = 351,3
Bornes pour σ²
351,3/32,852 = 10,69
351,3/8,907 = 39,44
Borne pour σ
σ = √10,69 = 3,27 µm
Réponse
σ = 3,27 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [3,27, 6,28] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 3,2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 8,3/√8 = 2,934
Statistique de test
t = 9,39/2,934 = 3,2
Réponse
t = 3,2
Avec df = 7, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,365 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 29,94 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 6/√36 = 1
x̄c = 50 + 2,326·1 = 52,33
z avec la vraie moyenne
z = (52,33 − 51,8)/1 = 0,526
Puissance
puissance = P(Z > 0,526) = 29,94%
1 − β = 29,94%
Réponse
1 − β = 29,94%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9904
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 400/5 = 80
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1030
Coefficient de détermination
r² = 202²/(40·1030) = 0,9904
Réponse
r² = 0,9904
Environ 99,04 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −4,69
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 371/6 = 61,83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72,5
Droite de régression
b = 72,5/17,5 = 4,143
a = 61,83 − 4,143·5,5 = 39,05
ŷ = 39,05 + 4,143·x
Valeur prédite
ŷ = 39,05 + 4,143·4,5 = 57,69
Résidu
e = 53 − 57,69 = −4,69
Réponse
e = −4,69
Le point se trouve en dessous de la droite.
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