Vous placez €2 000 à 6 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 14 ans.
PV = €2 000r = 6%t = 14
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €30 000 est remboursé par mensualités constantes sur 4 ans à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €30 0007,2% / 12N = 48
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €60 000 aujourd’hui. Elle génère €11 000 à la fin de chaque année pendant 8 ans et peut ensuite être revendue €15 000. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €60 000CF = €11 000S = €15 000n = 8r = 12%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €10 000 et rapporte €5 000, €5 000, €3 000, €5 000 à la fin des années 1 à 4. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 12 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 5,5%n = 10
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €945. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 4P = €945
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €3 000 000. Son coût des capitaux propres est de 12%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 500 000 actions à €11,50 chacune et 5 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 2,5% et la rentabilité du marché de 9,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,1rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 14, 38, 31, 43, 50.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 12. Trouve le score z z d'une note de 40,4.
μ = 50σ = 12x = 40,4
z =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 3 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 3
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 11 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,5, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?
n = 11p = 0,5k = 2
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Quelle proportion se situe entre 164 et 179,4 cm ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 178σ = 7x1 = 164x2 = 179,4
P =
14.Loi normaleDifficile
La masse X d’un produit de la ligne 1 et Y d’un produit de la ligne 2 sont indépendantes et normales : X a pour moyenne 500 g et pour écart-type 8 g, Y a pour moyenne 490 g et pour écart-type 6 g. Trouvez la probabilité P que X soit supérieure à Y. Arrondissez z à deux décimales.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 80 téléphones, moyenne 102 h, écart-type connu 19 h. Modèle 2 : 80 téléphones, moyenne 100,5 h, écart-type connu 11 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 43 kg, écart-type 4 kg. Groupe de parcelles 2 : 12 parcelles, moyenne 46 kg, écart-type 9,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 10 étudiants, note moyenne 47, écart-type 6. Groupe 2 : 6 étudiants, note moyenne 51,9, écart-type 7. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 10x̄₁ = 47s₁ = 6n₂ = 6x̄₂ = 51,9s₂ = 7
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ < 500 est réalisé au seuil α = 0.10 avec un échantillon de 100 ; l’écart-type est connu et vaut 5. En réalité, la moyenne vaut 498.55. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 500μ = 498,55σ = 5n = 100α = 0,10
1 − β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (16, 41). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(16, 41)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 4633 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,06·14 = 0,84
e0,84 = 2,316
Valeur future
FV = 2 000·2,316 = €4 632,73
Réponse
FV = €4 632,73
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: I = 4616 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,006, N = 48
A = 30 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−48) = €721,17
Total des intérêts
I = N·A − P = 48·721,2 − 30 000 = €4 616,37
Réponse
I = €4 616,37
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 702,3 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle des flux annuels
11 000·4,968 = 54 644,04
Valeur actuelle de la valeur résiduelle
15 000/2,476 = 6 058,25
NPV
NPV = −60 000 + 54 644,04 + 6 058,25 = €702,29
Réponse
NPV = €702,29
4.VAN et TRI
Réponse: MIRR = 21,31 %
TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valeur terminale des encaissements
5 000·1,123 = 7 024,64
5 000·1,122 = 6 272,00
3 000·1,121 = 3 360,00
5 000·1,120 = 5 000,00
TV = 21 656,64
MIRR
MIRR = (21 656,64/10 000)1/4 − 1 = 21,31%
Réponse
MIRR = 21,31%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1114 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,0275, N = 20
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €532,95
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5813 = €581,25
Prix
P = €1 114,20
Réponse
P = €1 114,20
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 5,572 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€945 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(5%) = €964,54, P(6%) = €930,70
YTM = 5,572%
Réponse
YTM = 5,572%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,7 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·12% + 0,3333·3%·(1 − 0,3) = 8,7%
Réponse
WACC = 8,7%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 9,386 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (40,4 − 50)/12 = −0,8
Réponse
z = −0,8
11.Probabilités
Réponse: P = 0,4213
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Réponse
P = 0,4213
12.Probabilités
Réponse: P = 0,02686
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (164 − 178)/7 = −2
z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,2) − Φ(−2) = 0,5793 − 0,02275 = 0,5565
Réponse
P = 0,5565
14.Loi normale
Réponse: P = 0,8413
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Centrer-réduire
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilités
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 5,538 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 102 − 100,5 = 1,5
Erreur type
SE = √(19²/80 + 11²/80) = 2,455
Marge d'erreur
E = 1,645·2,455 = 4,038
Intervalle
1,5 ± 4,038 → [−2,538, 5,538]
Réponse
borne supérieure = 5,538 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
16.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −16,17 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (4·4² + 11·9,5²)/15 = 70,45
sp = 8,393
Marge d'erreur
E = 2,947·8,393·√(1/5 + 1/12) = 13,17
Intervalle
−3 ± 13,17 → [−16,17, 10,17]
Réponse
borne inférieure = −16,17 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,488
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (9·6² + 5·7²)/14 = 40,64
sp = 6,375
Erreur type
SE = 6,375·√(1/10 + 1/6) = 3,292
Statistique de test
t = (47 − 51,9)/3,292 = −1,488
Réponse
t = −1,488
Avec df = 14, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,145 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 94,72 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 5/√100 = 0,5
x̄c = 500 − 1,282·0,5 = 499,4
z avec la vraie moyenne
z = (499,4 − 498,55)/0,5 = 1,618
Puissance
puissance = P(Z < 1.618) = 94.72%
1 − β = 94,72%
Réponse
1 − β = 94,72%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9737
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 295/6 = 49,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 282,8
Coefficient de corrélation
r = 68,5/√(17,5·282,8) = 0,9737
Réponse
r = 0,9737
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −5,081
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 403/6 = 67,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369
Droite de régression
b = 369/70 = 5,271
a = 67,17 − 5,271·20 = −38,26
ŷ = −38,26 + 5,271·x
Valeur prédite
ŷ = −38,26 + 5,271·16 = 46,08
Résidu
e = 41 − 46,08 = −5,081
Réponse
e = −5,081
Le point se trouve en dessous de la droite.
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