Tu places €5 000 à un taux nominal de 3 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 4 ans.
PV = €5 0003% / 4n = 4
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €200 à la fin de chaque mois pendant 9 ans. Le compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €2003,6% / 12N = 108
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €30 000 aujourd’hui, dure 7 ans et coûte €2 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 5 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €30 000M = €2 000n = 7r = 5%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 et rapporte €35 000, €21 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 35 000CF2 = 21 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 6 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €1 125 quand le taux de rendement actuariel est de 5,5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 6P = €1 125YTM = 5,5%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 9 ans et se vend €1 155. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%n = 9P = €1 155
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €5 000 000, des actions privilégiées valant €2 000 000 et une dette valant €2 000 000. Le coût des capitaux propres est de 9%, le coût des actions privilégiées de 8% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,8. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1,5. Le taux d’imposition est de 21%, le taux sans risque de 1% et la prime de risque du marché de 5,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,8D/E = 1,5T = 21%rf = 1%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 40, 17, 50, 55, 24.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 8. Trouve le score z z d'une note de 96.
μ = 100σ = 8x = 96
z =
11.ProbabilitésMoyen
Un sac contient 8 boules rouges et 8 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?
8 / 8
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,1, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 4 bonnes réponses ?
n = 10p = 0,1k = 4
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9370. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9370
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 95 % des valeurs (le 95e centile).
μ = 100σ = 15P = 95%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 7 éléments a une moyenne de 58 et un écart-type s = 12. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 7x̄ = 58s = 1299%t(6) = 3,707
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 34. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2 ?
σ = 34E = 295%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 étudiants a une note moyenne de 502,7 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,7s = 8n = 25
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 25 mesures a une moyenne de 494,6. L'écart-type de la population est 15. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 494,6σ = 15n = 2590%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 5635 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €21 600 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 7185 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,05−7)/0,05 = 5,786
Prix d’achat annualisé
30 000/5,786 = 5 184,59
EAC
EAC = 5 184,59 + 2 000 = €7 184,59
Réponse
EAC = €7 184,59
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 9,33 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(5%) = 2 834,47
NPV(10%) = −413,22
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,055)−6 = €725,25
Coupon
C = (1125 − 725,25)/4,996 = €80,02
Taux du coupon
c = 80,02/1000 = 8,002%
Réponse
c = 8,002%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 3,008 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 155 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Résoudre numériquement
P(3%) = €1 155,72, P(4%) = €1 074,35
YTM = 3,008%
Réponse
YTM = 3,008%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,258 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,8·(1 + 0,79·1,5) = 1,748
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,748·5,5% = 10,61%
Réponse
re = 10,61%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 16,36
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (96 − 100)/8 = −0,5
Réponse
z = −0,5
11.Probabilités
Réponse: P = 0,2333
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Premier et second tirage
P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333
Réponse
P = 0,2333
12.Probabilités
Réponse: P = 0,01116
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,9370 = 0,0630
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,0630 dans la table et lisez z.
z = −1,53
Réponse
z = −1,53
14.Loi normale
Réponse: x = 124,7 points
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Retour à x
x = 100 + 1,645·15 = 124,67 points
Réponse
x = 124,67 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 16,81
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Marge d'erreur
E = 3,707·12/√7 = 16,81
Réponse
E = 16,81
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1111
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·34/2)² = 1110
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 1111
Réponse
n = 1111
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,687
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Statistique de test
t = (502,7 − 500)/1,6 = 1,687
Réponse
t = 1,687
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 499,5
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Borne de l'intervalle
U = 494,6 + 4,935 = 499,5
Réponse
U = 499,5
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9045
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 1584 − 25·311/5 = 29
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 19447 − 311²/5 = 102,8
Coefficient de corrélation
r = 29/√(10·102,8) = 0,9045
Réponse
r = 0,9045
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 88,8
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.