Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €6 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 2,5 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 5,5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €6 000g = 2,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €2 000 au début de chaque année pendant 13 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 3 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 13 ? Trouvez FV.
A = €2 000i = 3%n = 13
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €50 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €1 500 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 8 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €50 000M = €1 500n = 9r = 8%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 et rapporte €26 500, €30 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 26 500CF2 = 30 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 7 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 5,5%n = 7
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 18 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 182. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%P = €1 182prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 5 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 1. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
D/E = 1re = 14%rd = 7%T = 21%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,6. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 2% et la prime de risque du marché de 7%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,9D/E = 0,6T = 25,8%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 24, 58, 16, 58, 59, 38.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 92,5 ?
μ = 100σ = 5x = 92,5
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 4 personnes parmi un groupe de 12 ? L'ordre ne compte pas.
n = 12k = 4
N =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 8 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,3, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 8p = 0,3
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Quelle proportion se situe entre 88,75 et 127 points ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 100σ = 15x1 = 88,75x2 = 127
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 85 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 25 éléments a une moyenne de 63 et un écart-type s = 3,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
n = 25x̄ = 63s = 3,599%t(24) = 2,797
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
On ne sait rien à l’avance sur la proportion de produits défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,02 ?
p = 0,5E = 0,0290%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 10 étudiants, note moyenne 119, écart-type 3. Groupe 2 : 7 étudiants, note moyenne 110,4, écart-type 9,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 10x̄₁ = 119s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 110,4s₂ = 9,5
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1 ? L'écart-type est 8. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 8E = 199%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
n = 6Σx = 42Σy = 80Σx² = 364Σy² = 1202Σxy = 656
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (4, 64). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(4, 64)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 200000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,03)13 − 1)/0,03 = 15,62
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 2 000·15,62·1,03 = €32 172,65
Réponse
FV = €32 172,65
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 9504 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,08−9)/0,08 = 6,247
Prix d’achat annualisé
50 000/6,247 = 8 003,99
EAC
EAC = 8 003,99 + 1 500 = €9 503,99
Réponse
EAC = €9 503,99
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 8,976 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(5%) = 2 902,49
NPV(10%) = −702,48
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, i = 0,0275, N = 14
Valeur actuelle des coupons
€30,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €344,73
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,684 = €684,00
Prix
P = €1 028,73
Réponse
P = €1 028,73
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 3,137 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1182 = 60·(1 − (1 + y)−5)/y + 1060/(1 + y)5
Résoudre numériquement
y = 3%: €1 189,15
y = 4%: €1 138,35
YTC = 3,137%
Réponse
YTC = 3,137%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 4,503%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 9,765 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Poids à partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·7%·(1 − 0,21) = 9,765%
Réponse
WACC = 9,765%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 11,1 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,742·0,6) = 1,301
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2% + 1,301·7% = 11,1%
Réponse
re = 11,1%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 19,06
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,5
Table de la loi normale
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Réponse
P = 0,9332
11.Probabilités
Réponse: N = 495
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495
Réponse
N = 495
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2553
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,78 = 0,05765
P(X = 1) = 8·0,3·0,77 = 0,1977
Les additionner
P = 0,05765 + 0,1977 = 0,2553
Réponse
P = 0,2553
13.Loi normale
Réponse: P = 0,7374
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75
z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(1,8) − Φ(−0,75) = 0,9641 − 0,2266 = 0,7374
Réponse
P = 0,7374
14.Loi normale
Réponse: x = 244,8 g
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,15
z d’après la table
z ≈ −1,04
Retour aux unités d’origine
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Réponse
x = 244,8 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 1,958
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Marge d'erreur
E = 2,797·3,5/√25 = 1,958
Réponse
E = 1,958
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1692
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Résoudre pour n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691
Arrondir vers le haut
n = 1692
Réponse
n = 1692
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,709
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (9·3² + 6·9,5²)/15 = 41,5
sp = 6,442
Erreur type
SE = 6,442·√(1/10 + 1/7) = 3,175
Statistique de test
t = (119 − 110,4)/3,175 = 2,709
Réponse
t = 2,709
Avec df = 15, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,131 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 425
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·8/1)² = 424,7
Arrondir vers le haut
n = 425
Réponse
n = 425
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9863
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 656 − 42·80/6 = 96
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1202 − 80²/6 = 135,3
Coefficient de corrélation
r = 96/√(70·135,3) = 0,9863
Réponse
r = 0,9863
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 2,41
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 434/6 = 72,33
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
Droite de régression
b = 188/70 = 2,686
a = 72,33 − 2,686·8 = 50,85
ŷ = 50,85 + 2,686·x
Valeur prédite
ŷ = 50,85 + 2,686·4 = 61,59
Résidu
e = 64 − 61,59 = 2,41
Réponse
e = 2,41
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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