Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 16 % par an, capitalisé semestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 16%m = 2
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €25 000 à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €350 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €25 000A = €3507,2% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €21 000, €29 000, €21 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €150 000 aujourd’hui. Son flux vaut €16 500 à la fin de l’année 1 et croît de 2 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 9. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €150 000CF1 = €16 500g = 2%n = 9r = 8%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 11 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €1 158 quand le taux de rendement actuariel est de 6%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 11P = €1 158YTM = 6%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 18 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) se vend €1 275. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 4 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 050. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%P = €1 275prix de remboursement anticipé = €1 050remboursement anticipé dans 4 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €10 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €10 000 000 et un coût des capitaux propres de 12%. Sa dette se compose de 5 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%, 10 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €1 119 chacune. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 24, 43, 16, 52, 44.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 160.
μ = 170σ = 10x = 160
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,1, 0,3, 0,2, 0,35
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 5 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 4 bonnes réponses ?
n = 5p = 0,7k = 4
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 27,2 et 39,5 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 27,2x2 = 39,5
P =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 75 % des valeurs (le 75e centile).
μ = 32σ = 6P = 75%
x = min
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 10 éléments a une moyenne de 33 et un écart-type s = 13,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 10x̄ = 33s = 13,590%t(9) = 1,833
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 23. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1,5 ?
σ = 23E = 1,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 507,3 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 507,3s = 20n = 64
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 16 mesures a une moyenne de 82,2. L'écart-type de la population est 12. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 82,2σ = 12n = 1690%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (5, 22). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 6(5, 22)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 16,64 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,16/2 = 0,08
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,08)2 − 1 = 1,166 − 1 = 16,64%
Réponse
EAR = 16,64%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 94 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,006/350 = 0,5714
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,5714)/ln(1,006) = 93,55
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
93 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 94
Réponse
N = 94 versements
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −16165 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 21 000/1,1 = 19 090,91
CF2/(1 + 0,1)2 = 29 000/1,21 = 23 966,94
CF3/(1 + 0,1)3 = 21 000/1,331 = 15 777,61
Additionner
NPV = €−16 164,54
Réponse
NPV = €−16 164,54
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −39407 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 8,003 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,06)−11 = €526,79
Coupon
C = (1158 − 526,79)/7,887 = €80,03
Taux du coupon
c = 80,03/1000 = 8,003%
Réponse
c = 8,003%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 50 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1275 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Résoudre numériquement
y = 50%: €287,65
y = 50%: €287,65
YTC = 50%
Réponse
YTC = 50%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 3%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,933 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (160 − 170)/10 = −1
Réponse
z = −1
11.Probabilités
Réponse: σ = 1,187
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formule binomiale
P(X = 4) = 5·0,74·0,31 = 5·0,2401·0,3 = 0,3601
Réponse
P = 0,3601
13.Loi normale
Réponse: P = 0,6825
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8
z₂ = (39,5 − 32)/6 = 1,25
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(1,25) − Φ(−0,8) = 0,8944 − 0,2119 = 0,6825
Réponse
P = 0,6825
14.Loi normale
Réponse: x = 36,05 min
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Retour à x
x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min
Réponse
x = 36,05 min
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 7,825
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Marge d'erreur
E = 1,833·13,5/√10 = 7,825
Réponse
E = 7,825
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 1561
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·23/1,5)² = 1560
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 1561
Réponse
n = 1561
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 2,92
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Statistique de test
t = (507,3 − 500)/2,5 = 2,92
Réponse
t = 2,92
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 77,27
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,645·12/√16 = 4,935
Borne de l'intervalle
L = 82,2 − 4,935 = 77,27
Réponse
L = 77,27
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9055
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 174/5 = 34,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42
Syy = Σ(y − ȳ)² = 194,8
Coefficient de détermination
r² = 42²/(10·194,8) = 0,9055
Réponse
r² = 0,9055
Environ 90,55 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 2,567
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 161/6 = 26,83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 259
Droite de régression
b = 259/70 = 3,7
a = 26,83 − 3,7·7 = 0,9333
ŷ = 0,9333 + 3,7·x
Valeur prédite
ŷ = 0,9333 + 3,7·5 = 19,43
Résidu
e = 22 − 19,43 = 2,567
Réponse
e = 2,567
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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