Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 15 % par an, capitalisé semestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 15%m = 2
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €200 à la fin de chaque mois pendant 17 ans. Le compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €2003,6% / 12N = 204
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €26 000, €16 000, €21 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €10 000 et rapporte €4 000, €7 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 7 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 9 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4%) quand son taux de rendement actuariel est de 8%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 9%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 9y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 6 ans et se vend €1 100. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%n = 6P = €1 100
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
E = €6 000 000D = €1 000 000re = 9%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,2 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,5. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 2,5% et la prime de risque du marché de 5%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 39, 40, 28, 19, 16, 19.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 52 ?
μ = 50σ = 5x = 52
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,35, 0,15
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 3 € pour jouer. Vous gagnez 12 € avec la probabilité 0,25 et 150 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €3€12: p = 0,25€150: p = 0,05
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9525. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9525
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 10 % des valeurs (le 10e centile).
μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 30 téléphones, moyenne 128,5 h, écart-type connu 12 h. Modèle 2 : 60 téléphones, moyenne 131 h, écart-type connu 19 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
Les diamètres de 25 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 5,4 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 24, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 12,401 et 2,5 % au-dessus de 39,364.
n = 25s = 5,4 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 12 étudiants, note moyenne 44,5, écart-type 5. Groupe 2 : 5 étudiants, note moyenne 49,7, écart-type 2,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 12x̄₁ = 44,5s₁ = 5n₂ = 5x̄₂ = 49,7s₂ = 2,5
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 200 contre H₁ : μ < 200 est réalisé au seuil α = 0.01 avec un échantillon de 25 ; l’écart-type est connu et vaut 15. En réalité, la moyenne vaut 188.3. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
μ₀ = 200μ = 188,3σ = 15n = 25α = 0,01
1 − β = %
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 3.
n = 6x = 3
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 15,56 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,15/2 = 0,075
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,075)2 − 1 = 1,156 − 1 = 15,56%
Réponse
EAR = 15,56%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 56162 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €40 800 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2585 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 26 000/1,05 = 24 761,90
CF2/(1 + 0,05)2 = 16 000/1,103 = 14 512,47
CF3/(1 + 0,05)3 = 21 000/1,158 = 18 140,59
Additionner
NPV = €−2 585,03
Réponse
NPV = €−2 585,03
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 8,882 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(5%) = 612,24
NPV(10%) = −165,29
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 5 + 5·612,24/(612,24 − (−165,29)) = 8,937%
exact: NPV(8,882%) = 0 → IRR = 8,882%
Réponse
IRR = 8,882%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 1,751 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 100 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Résoudre numériquement
P(5%) = €1 152,27, P(6%) = €1 098,35
YTM = 5,968%
Réponse
YTM = 5,968%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,214 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·9% + 0,1429·5%·(1 − 0,3) = 8,214%
Réponse
WACC = 8,214%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,318 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,5) = 0,8727
Réendetter au nouveau D/E
βL = 0,8727·(1 + 0,75·0,75) = 1,364
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2,5% + 1,364·5% = 9,318%
Réponse
re = 9,318%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 10,61
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,4
Table de la loi normale
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Réponse
P = 0,6554
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 0,85
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,5
Moyenne des carrés
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,35 + 16·0,15 = 7,1
Variance
Var(X) = 7,1 − 2,5² = 0,85
Réponse
Var(X) = 0,85
12.Probabilités
Réponse: E(G) = 7,5 €
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 9 (p = 0,25), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)
Espérance
E(G) = 9·0,25 + 147·0,05 − 3·0,7 = 7,5 €
Réponse
E(G) = 7,5 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: z = −1,67
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,9525 = 0,0475
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,0475 dans la table et lisez z.
z = −1,67
Réponse
z = −1,67
14.Loi normale
Réponse: x = 448,7 h
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Retour à x
x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h
Réponse
x = 448,74 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 3,946 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 128,5 − 131 = −2,5
Erreur type
SE = √(12²/30 + 19²/60) = 3,289
Marge d'erreur
E = 1,96·3,289 = 6,446
Intervalle
−2,5 ± 6,446 → [−8,946, 3,946]
Réponse
borne supérieure = 3,946 h
L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 4,216 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 24·5,4² = 699,8
Bornes pour σ²
699,8/39,364 = 17,78
699,8/12,401 = 56,43
Borne pour σ
σ = √17,78 = 4,216 µm
Réponse
σ = 4,216 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [4,216, 7,512] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,184
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (11·5² + 4·2,5²)/15 = 20
sp = 4,472
Erreur type
SE = 4,472·√(1/12 + 1/5) = 2,38
Statistique de test
t = (44,5 − 49,7)/2,38 = −2,184
Réponse
t = −2,184
Avec df = 15, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,131 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: 1 − β = 94,23 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Moyenne d’échantillon critique
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 200 − 2,326·3 = 193
z avec la vraie moyenne
z = (193 − 188,3)/3 = 1,574
Puissance
puissance = P(Z < 1.574) = 94.23%
1 − β = 94,23%
Réponse
1 − β = 94,23%
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9197
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 252/5 = 50,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156
Syy = Σ(y − ȳ)² = 719,2
Coefficient de corrélation
r = 156/√(40·719,2) = 0,9197
Réponse
r = 0,9197
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 10,94
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.