Vous placez €10 000 à 3 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 4 ans.
PV = €10 000r = 3%t = 4
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €8 000 est remboursé par mensualités égales sur 4 ans. Le taux d'intérêt est de 5,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €8 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €50 000 aujourd’hui, dure 8 ans et coûte €1 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 6 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €50 000M = €1 000n = 8r = 6%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un investissement de €50 000 rapporte €14 000 à la fin de chaque année pendant 7 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €50 000CF = €14 000n = 7
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 5,5%n = 10
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 8 ans et se vend €840. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 8P = €840
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres valant €3 000 000 et une dette valant €4 000 000. Son WACC est de 5,49%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le coût des capitaux propres re.
Une entreprise a 2 000 000 actions à €50,50 chacune et 40 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 0,8, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 6%. Trouvez le WACC.
β = 0,8rf = 1%rm = 6%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 37, 10, 26, 17, 12, 15.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 60.
μ = 50σ = 10x = 60
z =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 8 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 8
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 7 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,6, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?
n = 7p = 0,6k = 5
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 29 et 36,8 min ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 36,8
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,02 mm et d’écart-type 0,01 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 20 éléments a une moyenne de 96,5 et un écart-type s = 3. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 20x̄ = 96,5s = 390%t(19) = 1,729
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 20 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 7,7 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 19, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 8,907 et 2,5 % au-dessus de 32,852.
n = 20s = 7,7 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
9 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −8,37 et l’écart-type des différences 8,1. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 9d̄ = −8,37sd = 8,1
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 3 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 399%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 80 ?
n = 6ŷ = 80
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 11275 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,03·4 = 0,12
e0,12 = 1,127
Valeur future
FV = 10 000·1,127 = €11 274,97
Réponse
FV = €11 274,97
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 185,7 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 8 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €185,69
Réponse
A = €185,69
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 9052 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,06−8)/0,06 = 6,21
Prix d’achat annualisé
50 000/6,21 = 8 051,80
EAC
EAC = 8 051,80 + 1 000 = €9 051,80
Réponse
EAC = €9 051,80
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 20,34 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−7)/i = 50 000/14 000 = 3,571
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.
i = 20%: 3,605
i = 21%: 3,508
IRR = 20,34%
Réponse
IRR = 20,34%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1038 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, i = 0,0275, N = 20
Valeur actuelle des coupons
€30,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €456,82
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5813 = €581,25
Prix
P = €1 038,07
Réponse
P = €1 038,07
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 5,529 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€840 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Résoudre numériquement
P(5%) = €870,74, P(6%) = €813,71
YTM = 5,529%
Réponse
YTM = 5,529%
7.CAPM et WACC
Réponse: re = 10,01 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
Part de la dette dans le WACC
0,5714·3%·(1 − 0,3) = 1,2%
Coût des capitaux propres
re = (5,49% − 1,2%)/0,4286 = 10,01%
Réponse
re = 10,01%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 4,559 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 2 000 000·€50,50 = €101 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 0,8·5% = 5%
Pondérations
V = €143 000 000, E/V = 0,7063, D/V = 0,2937
WACC
WACC = 0,7063·5% + 0,2937·5%·(1 − 0,3) = 4,559%
Réponse
WACC = 4,559%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 10,21
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (60 − 50)/10 = 1
Réponse
z = 1
11.Probabilités
Réponse: P = 0,7674
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Réponse
P = 0,7674
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2613
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5
z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,8) − Φ(−0,5) = 0,7881 − 0,3085 = 0,4796
Réponse
P = 0,4796
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9207
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Réponse
P = 0,9207
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 97,66
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Marge d'erreur
E = 1,729·3/√20 = 1,16
Intervalle
96,5 ± 1,16 → [95,34, 97,66]
Réponse
borne supérieure = 97,66
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 5,856 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 19·7,7² = 1127
Bornes pour σ²
1127/32,852 = 34,29
1127/8,907 = 126,5
Borne pour σ
σ = √34,29 = 5,856 µm
Réponse
σ = 5,856 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [5,856, 11,25] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −3,1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 8,1/√9 = 2,7
Statistique de test
t = −8,37/2,7 = −3,1
Réponse
t = −3,1
Avec df = 8, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,306 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 166
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·15/3)² = 165,9
Arrondir vers le haut
n = 166
Réponse
n = 166
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9798
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 466/6 = 77,67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 300
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1339
Coefficient de corrélation
r = 300/√(70·1339) = 0,9798
Réponse
r = 0,9798
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 8,033
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 415/6 = 69,17
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 373
Droite de régression
b = 373/70 = 5,329
a = 69,17 − 5,329·6 = 37,2
ŷ = 37,2 + 5,329·x
Résoudre pour x
x = (80 − 37,2)/5,329 = 8,033
Réponse
x = 8,033
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