Tu as besoin de €20 000 dans 7 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €20 0005% / 4n = 7
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €200 000 est remboursé par mensualités égales sur 30 ans. Le taux d'intérêt est de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €200 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €60 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €30 000, €28 000, €21 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €50 000 et rapporte €34 500, €32 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 34 500CF2 = 32 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 15 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €1 334 quand le taux de rendement actuariel est de 4%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 15P = €1 334YTM = 4%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €940. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%n = 3P = €940
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €3 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 1. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,5. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 1% et la prime de risque du marché de 5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 1D/E = 0,5T = 25%rf = 1%rm − rf = 5%
re = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 44, 24, 39, 36, 47, 54.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 106,3 ?
μ = 100σ = 5x = 106,3
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 4 personnes parmi un groupe de 15 ? L'ordre ne compte pas.
n = 15k = 4
N =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 9 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 9p = 0,7
P =
13.Loi normaleMoyen
Les masses de sacs de ciment sont indépendantes et normales, de moyenne 25 kg et d’écart-type 0,5 kg. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 9 d’entre eux dépasse 223,5 kg. Arrondissez z à deux décimales.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9> 223,5 kg
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart type 7 cm. Faites glisser le seuil pour que les 90 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 15 éléments a une moyenne de 24,5 et un écart-type s = 7,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 15x̄ = 24,5s = 7,595%t(14) = 2,145
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 27. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
σ = 27E = 399%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 52 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52s = 10n = 36
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 198,2. L'écart-type de la population est 8. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 198,2σ = 8n = 4999%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 5.
n = 6x = 5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 14124 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·7 = 28
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,416 = €14 124,37
Réponse
PV = €14 124,37
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 909,3 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 200 000·0,003/(1 − 0,3401) = €909,29
Réponse
A = €909,29
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 6191 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 30 000/1,1 = 27 272,73
CF2/(1 + 0,1)2 = 28 000/1,21 = 23 140,50
CF3/(1 + 0,1)3 = 21 000/1,331 = 15 777,61
Additionner
NPV = €6 190,83
Réponse
NPV = €6 190,83
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 21,62 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 972,22
NPV(25%) = −1 920,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,04)−15 = €555,26
Coupon
C = (1334 − 555,26)/11,12 = €70,04
Taux du coupon
c = 70,04/1000 = 7,004%
Réponse
c = 7,004%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 10,43 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Résoudre numériquement
P(10%) = €950,26, P(11%) = €926,69
YTM = 10,43%
Réponse
YTM = 10,43%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,38 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·13% + 0,25·3,5%·(1 − 0,28) = 10,38%
Réponse
WACC = 10,38%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 7,875 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 1·(1 + 0,75·0,5) = 1,375
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,375·5% = 7,875%
Réponse
re = 7,875%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 10,31
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1,25
Table de la loi normale
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Réponse
P = 0,1056
11.Probabilités
Réponse: N = 1365
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365
Réponse
N = 1365
12.Probabilités
Réponse: P = 0,000433
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133
Les additionner
P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433
Réponse
P = 0,000433
13.Loi normale
Réponse: P = 0,8413
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi du total
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Centrer-réduire
z = (223,5 − 225)/1,5 = −1
Probabilités
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Réponse
P = 0,8413
14.Loi normale
Réponse: x = 169 cm
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,1
z d’après la table
z ≈ −1,28
Retour aux unités d’origine
x = 178 − 1,28·7 = 169 cm
Réponse
x = 169 cm
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 4,154
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Marge d'erreur
E = 2,145·7,5/√15 = 4,154
Réponse
E = 4,154
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 538
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·27/3)² = 537,5
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 538
Réponse
n = 538
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,2
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Statistique de test
t = (52 − 50)/1,667 = 1,2
Réponse
t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 201,1
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 2,576·8/√49 = 2,944
Borne de l'intervalle
U = 198,2 + 2,944 = 201,1
Réponse
U = 201,1
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9541
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 431/6 = 71,83
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 267
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1119
Coefficient de corrélation
r = 267/√(70·1119) = 0,9541
Réponse
r = 0,9541
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 51,61
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 346/6 = 57,67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212
Droite de régression
b = 212/70 = 3,029
a = 57,67 − 3,029·7 = 36,47
ŷ = 36,47 + 3,029·x
Prédiction
ŷ = 36,47 + 3,029·5 = 51,61
Réponse
ŷ = 51,61
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