Vous placez €2 000 à 5 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 12 ans.
PV = €2 000r = 5%t = 12
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 12 ans. Le compte rapporte 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1002,4% / 12N = 144
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €7 500, €4 500, €7 500, €8 000, €4 500, €7 500 à la fin des années 1 à 6. Le coût du capital est de 8 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un investissement de €20 000 rapporte €4 500 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
C0 = €20 000CF = €4 500n = 5
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 5 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4,5%) quand son taux de rendement actuariel est de 5,5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 6%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 5y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 7 ans. Elle se vend €914. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4% (2×)n = 7P = €914
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,6 a un rendement exigé de 7,9%. Le taux sans risque est de 1,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,6re = 7,9%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 000 000 actions cotant €30,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €18 300 000. Elle vient de verser un dividende de €3,00 par action, et les dividendes croissent de 5% par an. Sa dette a une valeur de marché de €18 300 000 et un coût avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 41, 24, 37, 16, 59, 19.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 10. Trouve le score z z d'une note de 55.
μ = 60σ = 10x = 55
z =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3
σ =
12.ProbabilitésDifficile
Un jeu coûte 1 € pour jouer. Vous gagnez 3 € avec la probabilité 0,25 et 50 € avec la probabilité 0,01 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.
mise = €1€3: p = 0,25€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,8159. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,8159
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 10 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 50 téléphones, moyenne 109 h, écart-type connu 3 h. Modèle 2 : 100 téléphones, moyenne 122,5 h, écart-type connu 19 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 12 parcelles, rendement moyen 29,5 kg, écart-type 1 kg. Groupe de parcelles 2 : 10 parcelles, moyenne 22,5 kg, écart-type 1,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 98,43 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,43s = 5n = 49
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 81 mesures a une moyenne de 119. L'écart-type de la population est 8. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 119σ = 8n = 8190%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (5, 17). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(5, 17)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 3644 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,05·12 = 0,6
e0,6 = 1,822
Valeur future
FV = 2 000·1,822 = €3 644,24
Réponse
FV = €3 644,24
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 16669 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €14 400 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: DPB = 3,552 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 7 500/1,08 = 6 944,44 → Σ = 6 944,44
année 2: 4 500/1,166 = 3 858,02 → Σ = 10 802,47
année 3: 7 500/1,26 = 5 953,74 → Σ = 16 756,21
année 4: 8 000/1,36 = 5 880,24 → Σ = 22 636,45
Fraction de la dernière année
DPB = 3 + 3 243,79/5 880,24 = 3,552
Réponse
DPB = 3,552 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,063 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 4,059 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Facteur d’annuité requis
(1 − (1 + i)−5)/i = 20 000/4 500 = 4,444
Trouver le taux
Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.
i = 4%: 4,452
i = 5%: 4,329
IRR = 4,059%
Réponse
IRR = 4,059%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 3,732 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €20,00, N = 14
Résoudre numériquement
i = 2,748% par semestre
YTM
YTM = 2·2,748% = 5,497%
Réponse
YTM = 5,497%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 5,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (7,9% − 1,5%)/1,6 = 4%
Rendement du marché
rm = 1,5% + 4% = 5,5%
Réponse
rm = 5,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 12,9 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (55 − 60)/10 = −0,5
Réponse
z = −0,5
11.Probabilités
Réponse: σ = 1,062
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,65
Moyenne des carrés
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,3 = 8,15
Variance
Var(X) = 8,15 − 2,65² = 1,127
σ = √1,127 = 1,062
Réponse
σ = 1,062
12.Probabilités
Réponse: E(G) = 0,25 €
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Résultats nets
G: 2 (p = 0,25), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,74)
Espérance
E(G) = 2·0,25 + 49·0,01 − 1·0,74 = 0,25 €
Réponse
E(G) = 0,25 €
Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.
13.Loi normale
Réponse: z = −0,9
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,8159 = 0,1841
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,1841 dans la table et lisez z.
z = −0,90
Réponse
z = −0,90
14.Loi normale
Réponse: x = 551 h
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,9
z d’après la table
z ≈ 1,28
Retour aux unités d’origine
x = 500 + 1,28·40 = 551 h
Réponse
x = 551 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 3,202 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimation ponctuelle
x̄₁ − x̄₂ = 109 − 122,5 = −13,5
Erreur type
SE = √(3²/50 + 19²/100) = 1,947
Marge d'erreur
E = 1,645·1,947 = 3,202
Réponse
E = 3,202 h
L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.
16.Intervalles de confiance
Réponse: E = 1,116 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (11·1² + 9·1,5²)/20 = 1,563
sp = 1,25
Marge d'erreur
E = 2,086·1,25·√(1/12 + 1/10) = 1,116
Réponse
E = 1,116 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −2,198
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Statistique de test
t = (98,43 − 100)/0,7143 = −2,198
Réponse
t = −2,198
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 117,5
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,645·8/√81 = 1,462
Borne de l'intervalle
L = 119 − 1,462 = 117,5
Réponse
L = 117,5
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9834
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 84/5 = 16,8
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Syy = Σ(y − ȳ)² = 218,8
Coefficient de corrélation
r = 92/√(40·218,8) = 0,9834
Réponse
r = 0,9834
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 5,3
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 68/5 = 13,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76
Droite de régression
b = 76/40 = 1,9
a = 13,6 − 1,9·6 = 2,2
ŷ = 2,2 + 1,9·x
Valeur prédite
ŷ = 2,2 + 1,9·5 = 11,7
Résidu
e = 17 − 11,7 = 5,3
Réponse
e = 5,3
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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