Tu places €5 000 à un taux nominal de 4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 2 ans.
PV = €5 0004% / 12n = 2
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 27 ans. Le compte rapporte 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1002,4% / 12N = 324
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €250 000 aujourd’hui. Il génère €18 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €250 000CF1 = €18 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €80 000 aujourd’hui. Son flux vaut €16 000 à la fin de l’année 1 et croît de 3 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 5. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €80 000CF1 = €16 000g = 3%n = 5r = 8%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 13 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5% à 3%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 13y1 = 5%y2 = 3%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.
F = €1 000coupon = 8%n = 3YTM = 3%
D = ans
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €3 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 8%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
E = €3 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 7%T = 30%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 5 000 000 actions cotant €43,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €86 000 000. Elle vient de verser un dividende de €1,60 par action, et les dividendes croissent de 3% par an. Sa dette a une valeur de marché de €129 000 000 et un coût avant impôt de 4,5%. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9011. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9011
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 80 % des valeurs (le 80e centile).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 23 et un écart-type s = 16. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
n = 8x̄ = 23s = 1690%t(7) = 1,895
borne inférieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 16 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 3,8 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 15, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 6,262 et 2,5 % au-dessus de 27,488.
n = 16s = 3,8 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 12 étudiants, note moyenne 84,5, écart-type 7,5. Groupe 2 : 14 étudiants, note moyenne 91,3, écart-type 11. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
n₁ = 12x̄₁ = 84,5s₁ = 7,5n₂ = 14x̄₂ = 91,3s₂ = 11
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2,5 ? L'écart-type est 12. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 12E = 2,590%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (24,5, 88). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(24,5, 88)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 5416 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €32 400 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −25000 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 18 000/(0,12 − 0,04) = 225 000,00
NPV
NPV = 225 000,00 − 250 000 = −€25 000,00
Réponse
NPV = −€25 000,00
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −12474 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de l’annuité croissante
((1,03)/(1,08))5 = 0,789
PV = 16 000/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,789) = 67 525,61
NPV
NPV = 67 525,61 − 80 000 = −€12 474,39
Réponse
NPV = −€12 474,39
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = 206,5 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valeur actuelle de chaque flux
t = 1: 80/1,03 = 77,67, t·PV = 77,67
t = 2: 80/1,061 = 75,41, t·PV = 150,82
t = 3: 1080/1,093 = 988,35, t·PV = 2 965,06
Duration
P = 1 141,43
D = 3 193,54/1 141,43 = 2,798
Réponse
D = 2,798 ans
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,933 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·8% + 0,6667·7%·(1 − 0,3) = 5,933%
Réponse
WACC = 5,933%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,603 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −1,2
Table de la loi normale
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Réponse
P = 0,1151
11.Probabilités
Réponse: σ = 11
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Dispersion de X
μ = 24,5, Var(X) = 124,8, σX = 11,17
Changement linéaire
σY = |0,5|·11,17 = 5,585
Réponse
σY = 5,585
La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 0,5·24,5 + 5 = 17,25.
13.Loi normale
Réponse: z = 1,65
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = (1 + 0,9011)/2 = 0,9505
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,9505 dans la table et lisez z.
z = 1,65
Réponse
z = 1,65
14.Loi normale
Réponse: x = 533,7 h
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Retour à x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Réponse
x = 533,66 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = 12,28
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Marge d'erreur
E = 1,895·16/√8 = 10,72
Intervalle
23 ± 10,72 → [12,28, 33,72]
Réponse
borne inférieure = 12,28
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 5,881 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 15·3,8² = 216,6
Bornes pour σ²
216,6/27,488 = 7,88
216,6/6,262 = 34,59
Borne pour σ
σ = √34,59 = 5,881 µm
Réponse
σ = 5,881 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [2,807, 5,881] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −1,809
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variance commune
sp² = (11·7,5² + 13·11²)/24 = 91,32
sp = 9,556
Erreur type
SE = 9,556·√(1/12 + 1/14) = 3,759
Statistique de test
t = (84,5 − 91,3)/3,759 = −1,809
Réponse
t = −1,809
Avec df = 24, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,064 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 63
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (1,645·12/2,5)² = 62,35
Arrondir vers le haut
n = 63
Réponse
n = 63
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9748
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 390/5 = 78
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Syy = Σ(y − ȳ)² = 330
Coefficient de corrélation
r = 56/√(10·330) = 0,9748
Réponse
r = 0,9748
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = 1,95
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 335/5 = 67
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381
Droite de régression
b = 381/90 = 4,233
a = 67 − 4,233·20 = −17,67
ŷ = −17,67 + 4,233·x
Valeur prédite
ŷ = −17,67 + 4,233·24,5 = 86,05
Résidu
e = 88 − 86,05 = 1,95
Réponse
e = 1,95
Le point se trouve au-dessus de la droite.
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