Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €10 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 3 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 9 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €10 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €25 000 à 6 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €1 125 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €25 000A = €1 1256% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €60 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €2 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 12 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €60 000M = €2 000n = 9r = 12%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €150 000 aujourd’hui. Son flux vaut €27 000 à la fin de l’année 1 et croît de 2 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 5. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €150 000CF1 = €27 000g = 2%n = 5r = 10%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 6%n = 11
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 7 ans et se vend €1 095. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 25,8%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 4 000 000 actions à €33,50 chacune et 40 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4,5% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 2%rm = 8,5%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 19, 44, 30, 20, 33.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 100 ?
μ = 70σ = 20x = 100
P =
11.ProbabilitésMoyen
Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 12 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 12p = 0,25
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Quelle proportion se situe entre 422 et 532 h ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 500σ = 40x1 = 422x2 = 532
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,03 mm et d’écart-type 0,02 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,01 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 12 éléments a une moyenne de 76,5 et un écart-type s = 18. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 12x̄ = 76,5s = 1895%t(11) = 2,201
borne supérieure =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 15. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?
σ = 15E = 0,599%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 201,9 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,9s = 10n = 81
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 100 mesures a une moyenne de 99,3. L'écart-type de la population est 5. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.
x̄ = 99,3σ = 5n = 10099%
L =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (1,5, 22). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 22)
e =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 166667 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,005/1125 = 0,8889
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,8889)/ln(1,005) = 23,62
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
23 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 24
Réponse
N = 24 versements
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 13261 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,12−9)/0,12 = 5,328
Prix d’achat annualisé
60 000/5,328 = 11 260,73
EAC
EAC = 11 260,73 + 2 000 = €13 260,73
Réponse
EAC = €13 260,73
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −43872 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1080 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,03, N = 22
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,5219)/0,03 = €557,79
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5219 = €521,89
Prix
P = €1 079,68
Réponse
P = €1 079,68
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 2,504 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Résoudre numériquement
P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30
YTM = 2,504%
Réponse
YTM = 2,504%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,355 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·5%·(1 − 0,258) = 7,355%
Réponse
WACC = 7,355%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,9 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 1,5
Table de la loi normale
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Réponse
P = 0,9332
11.Probabilités
Réponse: Var(X) = 0,6475
Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.
Moyenne
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Moyenne des carrés
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Variance
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Réponse
Var(X) = 0,6475
12.Probabilités
Réponse: P = 0,1584
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,7512 = 0,03168
P(X = 1) = 12·0,25·0,7511 = 0,1267
Les additionner
P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584
Réponse
P = 0,1584
13.Loi normale
Réponse: P = 0,7626
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Scores z
z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95
z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8
Aire entre les deux valeurs
P = Φ(0,8) − Φ(−1,95) = 0,7881 − 0,02559 = 0,7626
Réponse
P = 0,7626
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9099
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Réponse
P = 0,9099
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 87,94
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 11, t = 2,201
Marge d'erreur
E = 2,201·18/√12 = 11,44
Intervalle
76,5 ± 11,44 → [65,06, 87,94]
Réponse
borne supérieure = 87,94
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 5973
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·15/0,5)² = 5972
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 5973
Réponse
n = 5973
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,71
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Statistique de test
t = (201,9 − 200)/1,111 = 1,71
Réponse
t = 1,71
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: L = 98,01
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 2,576·5/√100 = 1,288
Borne de l'intervalle
L = 99,3 − 1,288 = 98,01
Réponse
L = 98,01
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9891
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 2971 − 48·339/6 = 259
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 20133 − 339²/6 = 979,5
Coefficient de corrélation
r = 259/√(70·979,5) = 0,9891
Réponse
r = 0,9891
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: e = −2,65
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20,6
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Droite de régression
b = −27/10 = −2,7
a = 20,6 − (−2,7)·3 = 28,7
ŷ = 28,7 − 2,7·x
Valeur prédite
ŷ = 28,7 + (−2,7)·1,5 = 24,65
Résidu
e = 22 − 24,65 = −2,65
Réponse
e = −2,65
Le point se trouve en dessous de la droite.
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