Tu places €3 000 à un taux nominal de 3 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 6 ans.
PV = €3 0003% / 12n = 6
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €15 000 à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €675 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €15 000A = €6754,2% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €80 000 aujourd’hui, dure 8 ans et coûte €2 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 12 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €80 000M = €2 000n = 8r = 12%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €10 500, €13 500, €15 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 10 500CF2 = 13 500CF3 = 15 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% et arrive à échéance dans 11 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 9% à 8%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 3%n = 11y1 = 9%y2 = 8%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 9 ans et se vend €1 080. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 9P = €1 080
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 0,9 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,5. Elle prévoit de porter ce ratio à 1,25. Le taux d’imposition est de 21%, le taux sans risque de 3,5% et la prime de risque du marché de 4%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 27, 41, 47, 26, 16.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 58 ?
μ = 70σ = 15x = 58
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 10 ? L'ordre ne compte pas.
n = 10k = 5
N =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 11 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,3, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 11p = 0,3
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,6664. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,6664
z =
14.Loi normaleDifficile
Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 40 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 10 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 8,2 et un écart-type de 2,3. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.
n = 10d̄ = 8,2sd = 2,395%t(9) = 2,262
borne supérieure = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
Les diamètres de 20 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 9,1 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 19, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 8,907 et 2,5 % au-dessus de 32,852.
n = 20s = 9,1 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
La moyenne d’une population est censée valoir 100 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 10. Un échantillon aléatoire de 25 observations a une moyenne de 97. Testez H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ < 100. Trouvez la valeur p p.
μ₀ = 100σ = 10n = 25x̄ = 97H₁: μ < μ₀
p =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 1,599%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 24 ?
n = 5ŷ = 24
x =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 3591 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,0035/675 = 0,9222
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,9222)/ln(1,004) = 23,17
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
23 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 24
Réponse
N = 24 versements
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 18104 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,12−8)/0,12 = 4,968
Prix d’achat annualisé
80 000/4,968 = 16 104,23
EAC
EAC = 16 104,23 + 2 000 = €18 104,23
Réponse
EAC = €18 104,23
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 24,94 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 2 094,91
NPV(25%) = −24,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Résoudre numériquement
P(2%) = €1 081,62, P(3%) = €1 000,00
YTM = 2,019%
Réponse
YTM = 2,019%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 11,74 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·13% + 0,1429·6%·(1 − 0,3) = 11,74%
Réponse
WACC = 11,74%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 8,629 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 0,9/(1 + 0,79·0,5) = 0,6452
Réendetter au nouveau D/E
βL = 0,6452·(1 + 0,79·1,25) = 1,282
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3,5% + 1,282·4% = 8,629%
Réponse
re = 8,629%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 12,46
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −0,8
Table de la loi normale
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Réponse
P = 0,2119
11.Probabilités
Réponse: N = 252
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252
Réponse
N = 252
12.Probabilités
Réponse: P = 0,113
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,711 = 0,01977
P(X = 1) = 11·0,3·0,710 = 0,09322
Les additionner
P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113
Réponse
P = 0,113
13.Loi normale
Réponse: z = −0,43
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,6664 = 0,3336
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,3336 dans la table et lisez z.
z = −0,43
Réponse
z = −0,43
14.Loi normale
Réponse: x = 510 h
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,6
z d’après la table
z ≈ 0,25
Retour aux unités d’origine
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Réponse
x = 510 h
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = 9,845 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 9, t = 2,262
Marge d'erreur
E = 2,262·2,3/√10 = 1,645
Intervalle
8,2 ± 1,645 → [6,555, 9,845]
Réponse
borne supérieure = 9,845 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: σ = 13,29 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Somme des carrés
(n − 1)s² = 19·9,1² = 1573
Bornes pour σ²
1573/32,852 = 47,89
1573/8,907 = 176,6
Borne pour σ
σ = √176,6 = 13,29 µm
Réponse
σ = 13,29 µm
Intervalle à 95 % pour σ : [6,92, 13,29] µm.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: p = 0,06681
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistique de test
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (97 − 100)/2 = −1,5
Aire de la queue
Φ(1,5) = 0,9332
1 − Φ(1,5) = 0,0668
Valeur p
p = 0,06681
Réponse
p = 0,06681
p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 664
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·15/1,5)² = 663,6
Arrondir vers le haut
n = 664
Réponse
n = 664
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9637
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Sommes centrées
Sxy = 1247 − 27·256/6 = 95
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 11478 − 256²/6 = 555,3
Coefficient de corrélation
r = 95/√(17,5·555,3) = 0,9637
Réponse
r = 0,9637
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: x = 6,875
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 106/5 = 21,2
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Droite de régression
b = 128/40 = 3,2
a = 21,2 − 3,2·6 = 2
ŷ = 2 + 3,2·x
Résoudre pour x
x = (24 − 2)/3,2 = 6,875
Réponse
x = 6,875
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