Tu places €8 000 à un taux nominal de 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 9 ans.
PV = €8 0005% / 4n = 9
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 30 ans à 3,6 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €150 0003,6% / 12N = 360
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €8 000, €9 000, €6 000, €10 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui. Son flux vaut €14 000 à la fin de l’année 1 et croît de 2 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 4. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €50 000CF1 = €14 000g = 2%n = 4r = 8%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 9 ans. Le taux de rendement actuariel est de 7% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 7%n = 9
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €945 avec un taux de rendement actuariel de 3% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 5,1 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 100 points de base.
P0 = €945y = 3%D = 5,1Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €4 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 13%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €11,00 chacune et 40 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 7,5%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 47, 21, 25, 21, 30.
n = 5
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 10. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 106 ?
μ = 100σ = 10x = 106
P =
11.ProbabilitésMoyen
De combien de façons N peut-on choisir un comité de 2 personnes parmi un groupe de 8 ? L'ordre ne compte pas.
n = 8k = 2
N =
12.ProbabilitésDifficile
On teste 12 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?
n = 12p = 0,7
P =
13.Loi normaleMoyen
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Quelle proportion se situe entre 240,25 et 252,75 g ? Donnez P sous forme décimale.
μ = 250σ = 5x1 = 240,25x2 = 252,75
P =
14.Loi normaleDifficile
Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 70 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.
μ = 65 pointsσ = 10 points70%
x = points
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 16 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de −7,2 et un écart-type de 4. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.
n = 16d̄ = −7,2sd = 495%t(15) = 2,131
borne supérieure = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 9 parcelles, rendement moyen 62 kg, écart-type 8 kg. Groupe de parcelles 2 : 22 parcelles, moyenne 69,5 kg, écart-type 8 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
11 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 4,39 et l’écart-type des différences 9,7. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
n = 11d̄ = 4,39sd = 9,7
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 77,3. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
x̄ = 77,3σ = 10n = 4995%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 5
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 12512 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,003, N = 360
A = 150 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−360) = €681,97
Total des intérêts
I = N·A − P = 360·682 − 150 000 = €95 508,49
Réponse
I = €95 508,49
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 9192 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 8 000/1,05 = 7 619,05
CF2/(1 + 0,05)2 = 9 000/1,103 = 8 163,27
CF3/(1 + 0,05)3 = 6 000/1,158 = 5 183,03
CF4/(1 + 0,05)4 = 10 000/1,216 = 8 227,02
Additionner
NPV = €9 192,36
Réponse
NPV = €9 192,36
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2311 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 868,1 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €25,00, i = 0,035, N = 18
Valeur actuelle des coupons
€25,00·(1 − 0,5384)/0,035 = €329,74
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5384 = €538,36
Prix
P = €868,10
Réponse
P = €868,10
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 898,2 €
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 5,1/1,03 = 4,951
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −4,951·(0,01) = −4,951%
P ≈ 945·(1 − 0,04951) = €898,21
Réponse
P = €898,21
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 10,83 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·3%·(1 − 0,28) = 10,83%
Réponse
WACC = 10,83%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,71 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = 0,6
Table de la loi normale
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Réponse
P = 0,7257
11.Probabilités
Réponse: N = 28
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaisons
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
Réponse
N = 28
12.Probabilités
Réponse: P = 1,541 × 10⁻⁵
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zéro et une panne
P(X = 0) = 0,312 = 5,314 × 10⁻⁷
P(X = 1) = 12·0,7·0,311 = 1,488 × 10⁻⁵
Les additionner
P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵
Réponse
P = 1,541 × 10⁻⁵
13.Loi normale
Réponse: P = 0,6833
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche
Φ(z) = 0,3
z d’après la table
z ≈ −0,52
Retour aux unités d’origine
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 points
Réponse
x = 59,8 points
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = −5,069 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 15, t = 2,131
Marge d'erreur
E = 2,131·4/√16 = 2,131
Intervalle
−7,2 ± 2,131 → [−9,331, −5,069]
Réponse
borne supérieure = −5,069 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: borne supérieure = −1,027 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Écart-type commun
sp² = (8·8² + 21·8²)/29 = 64
sp = 8
Marge d'erreur
E = 2,045·8·√(1/9 + 1/22) = 6,473
Intervalle
−7,5 ± 6,473 → [−13,97, −1,027]
Réponse
borne supérieure = −1,027 kg
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = 1,501
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erreur type de la différence moyenne
SE = 9,7/√11 = 2,925
Statistique de test
t = 4,39/2,925 = 1,501
Réponse
t = 1,501
Avec df = 10, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,228 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 80,1
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,96·10/√49 = 2,8
Borne de l'intervalle
U = 77,3 + 2,8 = 80,1
Réponse
U = 80,1
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = −0,9826
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22,4
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 81,2
Coefficient de corrélation
r = −28/√(10·81,2) = −0,9826
Réponse
r = −0,9826
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 60,08
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 392/6 = 65,33
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Droite de régression
b = 92/17,5 = 5,257
a = 65,33 − 5,257·5,5 = 36,42
ŷ = 36,42 + 5,257·x
Prédiction
ŷ = 36,42 + 5,257·4,5 = 60,08
Réponse
ŷ = 60,08
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