Tu places €1 000 à un taux nominal de 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 5 ans.
PV = €1 0005% / 4n = 5
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €20 000 est remboursé par mensualités constantes sur 7 ans à 3,6 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €20 0003,6% / 12N = 84
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €25 000, €35 000, €24 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €25 500, €24 500, €25 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 25 500CF2 = 24 500CF3 = 25 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 8%n = 8
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €1 030. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3%n = 3P = €1 030
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 0,8 a un rendement exigé de 6,2%. Le taux sans risque est de 3%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 0,8re = 6,2%rf = 3%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,5 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,2. Elle prévoit de porter ce ratio à 1,25. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 2,5% et la prime de risque du marché de 5%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 35, 28, 34, 11, 15, 16.
n = 6
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 96.
μ = 100σ = 5x = 96
z =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 8 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 8
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 5 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,6, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?
n = 5p = 0,6k = 2
P =
13.Loi normaleMoyen
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9207. Trouvez z avec deux décimales.
A = 0,9207
z =
14.Loi normaleDifficile
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 90 % des valeurs (le 90e centile).
μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
15.Intervalles de confianceMoyen
On mesure la tension artérielle de 20 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 1,4 et un écart-type de 6,5. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.
n = 20d̄ = 1,4sd = 6,595%t(19) = 2,093
borne inférieure = mmHg
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 22. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
σ = 22E = 399%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 98,65 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,65s = 15n = 100
t =
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 78,9. L'écart-type de la population est 8. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.
x̄ = 78,9σ = 8n = 3690%
U =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
n = 6
r =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 3,5.
n = 6x = 3,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 1282 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Mensualité
i = 0,003, N = 84
A = 20 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−84) = €269,71
Total des intérêts
I = N·A − P = 84·269,7 − 20 000 = €2 655,56
Réponse
I = €2 655,56
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −2793 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 25 000/1,08 = 23 148,15
CF2/(1 + 0,08)2 = 35 000/1,166 = 30 006,86
CF3/(1 + 0,08)3 = 24 000/1,26 = 19 051,97
Additionner
NPV = €−2 793,02
Réponse
NPV = €−2 793,02
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 40,01 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(40%) = 7,29
NPV(45%) = −2 396,57
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 40 + 5·7,29/(7,29 − (−2 396,57)) = 40,02%
exact: NPV(40,01%) = 0 → IRR = 40,01%
Réponse
IRR = 40,01%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 883,5 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, i = 0,04, N = 16
Valeur actuelle des coupons
€30,00·(1 − 0,5339)/0,04 = €349,57
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,5339 = €533,91
Prix
P = €883,48
Réponse
P = €883,48
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 1,961 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 030 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Résoudre numériquement
P(1%) = €1 058,82, P(2%) = €1 028,84
YTM = 1,961%
Réponse
YTM = 1,961%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 7 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (6,2% − 3%)/0,8 = 4%
Rendement du marché
rm = 3% + 4% = 7%
Réponse
rm = 7%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 15,14 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1,5/(1 + 0,75·0,2) = 1,304
Réendetter au nouveau D/E
βL = 1,304·(1 + 0,75·1,25) = 2,527
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2,5% + 2,527·5% = 15,14%
Réponse
re = 15,14%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 10,46
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (96 − 100)/5 = −0,8
Réponse
z = −0,8
11.Probabilités
Réponse: P = 0,7674
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Réponse
P = 0,7674
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2304
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formule binomiale
P(X = 2) = 10·0,62·0,43 = 10·0,36·0,064 = 0,2304
Réponse
P = 0,2304
13.Loi normale
Réponse: z = −1,41
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Aire à gauche de z
Φ(z) = 1 − 0,9207 = 0,0793
Lire la table de z à l’envers
Trouvez 0,0793 dans la table et lisez z.
z = −1,41
Réponse
z = −1,41
14.Loi normale
Réponse: x = 256,4 g
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
z du centile
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Retour à x
x = 250 + 1,282·5 = 256,41 g
Réponse
x = 256,41 g
15.Intervalles de confiance
Réponse: borne inférieure = −1,642 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valeur critique
df = 19, t = 2,093
Marge d'erreur
E = 2,093·6,5/√20 = 3,042
Intervalle
1,4 ± 3,042 → [−1,642, 4,442]
Réponse
borne inférieure = −1,642 mmHg
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 357
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (2,576·22/3)² = 356,9
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 357
Réponse
n = 357
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: t = −0,9
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Erreur type
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Statistique de test
t = (98,65 − 100)/1,5 = −0,9
Réponse
t = −0,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: U = 81,09
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Marge d'erreur
E = 1,645·8/√36 = 2,193
Borne de l'intervalle
U = 78,9 + 2,193 = 81,09
Réponse
U = 81,09
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r = 0,9946
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 387/6 = 64,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 499,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1602
Coefficient de corrélation
r = 499,5/√(157,5·1602) = 0,9946
Réponse
r = 0,9946
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 48,13
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 357/6 = 59,5
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99,5
Droite de régression
b = 99,5/17,5 = 5,686
a = 59,5 − 5,686·5,5 = 28,23
ŷ = 28,23 + 5,686·x
Prédiction
ŷ = 28,23 + 5,686·3,5 = 48,13
Réponse
ŷ = 48,13
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