Tu as besoin de €25 000 dans 3 ans. Un compte rapporte 2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €25 0002% / 12n = 3
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 26 ans. Le compte rapporte 4,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1004,2% / 12N = 312
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Il génère €9 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €40 000 et rapporte €19 000, €17 000, €29 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 17 000CF3 = 29 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 5 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 3,5%n = 5
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 16 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 8%) se vend €1 262. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 6 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 080. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 262prix de remboursement anticipé = €1 080remboursement anticipé dans 6 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €4 000 000, des actions privilégiées valant €1 000 000 et une dette valant €4 000 000. Le coût des capitaux propres est de 9%, le coût des actions privilégiées de 6% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 2 000 000 actions à €17,50 chacune et 5 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 5%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 1%rm = 5%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
9.Statistique descriptiveMoyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 24, 52, 15, 50, 44, 60, 52.
n = 7
s =
10.Statistique descriptiveDifficile
Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 94.
μ = 100σ = 5x = 94
z =
11.ProbabilitésMoyen
On lance un dé équilibré 6 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?
n = 6
P =
12.ProbabilitésDifficile
Un test comporte 8 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 4 bonnes réponses ?
n = 8p = 0,4k = 4
P =
13.Loi normaleMoyen
Les masses de boulons sont indépendantes et normales, de moyenne 40 g et d’écart-type 1,2 g. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 6 d’entre eux soit inférieure à 244,4 g. Arrondissez z à deux décimales.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6< 244.4 g
P =
14.Loi normaleDifficile
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,04 mm et d’écart-type 0,02 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,015 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
alésage: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalles de confianceMoyen
Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 102 et un écart-type s = 6,5. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.
n = 8x̄ = 102s = 6,595%t(7) = 2,365
E =
16.Intervalles de confianceDifficile
L’écart-type de la population est 18. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2 ?
σ = 18E = 295%
n =
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 30 pièces a une longueur moyenne de 42,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 10 mm. Ligne 2 : un échantillon de 80 pièces a une moyenne de 49,4 mm, écart-type connu 16 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
σ = 15E = 199%
n =
19.Régression linéaire et corrélationMoyen
Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
n = 5
r² =
20.Régression linéaire et corrélationDifficile
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 19,5.
n = 5x = 19,5
ŷ =
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 23545 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·3 = 36
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,062 = €23 545,29
Réponse
PV = €23 545,29
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 56416 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €31 200 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 12500 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 9 000/(0,12 − 0,04) = 112 500,00
NPV
NPV = 112 500,00 − 100 000 = €12 500,00
Réponse
NPV = €12 500,00
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 26,84 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 1 184,00
NPV(30%) = −1 898,04
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €35,00, i = 0,0175, N = 10
Valeur actuelle des coupons
€35,00·(1 − 0,8407)/0,0175 = €318,54
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,8407 = €840,73
Prix
P = €1 159,27
Réponse
P = €1 159,27
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 4,174 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1262 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Résoudre numériquement
y = 4%: €1 272,91
y = 5%: €1 211,97
YTC = 4,174%
Réponse
YTC = 4,174%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 5,496%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,733 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 2 000 000·€17,50 = €35 000 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,3·4% = 6,2%
Pondérations
V = €40 000 000, E/V = 0,875, D/V = 0,125
WACC
WACC = 0,875·6,2% + 0,125·6%·(1 − 0,258) = 5,981%
Réponse
WACC = 5,981%
9.Statistique descriptive
Réponse: s = 16,55
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = (94 − 100)/5 = −1,2
Réponse
z = −1,2
11.Probabilités
Réponse: P = 0,6651
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complémentaire
P(aucun six) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Réponse
P = 0,6651
12.Probabilités
Réponse: P = 0,2322
Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi du total
μT = 240 g, σT = 1,2·√6 = 2,939 g
Centrer-réduire
z = (244,4 − 240)/2,939 = 1,5
Probabilités
P = Φ(1,5) = 0,9332
Réponse
P = 0,9332
14.Loi normale
Réponse: P = 0,9452
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Loi de la différence
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Centrer-réduire
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Probabilités
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Réponse
P = 0,9452
15.Intervalles de confiance
Réponse: E = 5,435
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Valeur critique
df = n − 1 = 7, t = 2,365
Marge d'erreur
E = 2,365·6,5/√8 = 5,435
Réponse
E = 5,435
16.Intervalles de confiance
Réponse: n = 312
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Résoudre pour n
n = (1,96·18/2)² = 311,2
Arrondir vers le haut
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
n = 312
Réponse
n = 312
17.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: z = −2,699
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erreur type de la différence
SE = √(10²/30 + 16²/80) = √6,533 = 2,556
Statistique de test
z = (42,5 − 49,4)/2,556 = −2,699
Réponse
z = −2,699
|z| > 1,96, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
18.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance
Réponse: n = 1494
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Résoudre pour n
n = (2,576·15/1)² = 1493
Arrondir vers le haut
n = 1494
Réponse
n = 1494
19.Régression linéaire et corrélation
Réponse: r² = 0,9463
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 60/5 = 12
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Syy = Σ(y − ȳ)² = 214
Coefficient de détermination
r² = 90²/(40·214) = 0,9463
Réponse
r² = 0,9463
Environ 94,63 % de la variation de y est expliquée par la droite.
20.Régression linéaire et corrélation
Réponse: ŷ = 65,65
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Moyennes
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 360/5 = 72
Sommes des carrés et des produits
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381
Droite de régression
b = 381/90 = 4,233
a = 72 − 4,233·21 = −16,9
ŷ = −16,9 + 4,233·x
Prédiction
ŷ = −16,9 + 4,233·19,5 = 65,65
Réponse
ŷ = 65,65
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