Circuits électriques 2 : régime sinusoïdal : pack de révision

Forme polaire : z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, avec r = |z| et θ = arg z. Retour à la forme rectangulaire : a = r cos θ, b = r sin θ. L’argument demande le quadrant : θ = atan(b/a) seulement quand a > 0 ; pour a < 0, ajoutez ou soustrayez 180°. En forme polaire la multiplication est facile : multipliez les modules et additionnez les arguments ; pour une division, divisez les modules et soustrayez les arguments.

De Moivre et racines : (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. L’équation zⁿ = R∠φ a exactement n racines, toutes de module R^1/n, aux arguments (φ + 360°·k)/n pour k = 0, 1, …, n − 1 : elles sont régulièrement réparties sur un cercle, espacées de 360°/n. Une équation du second degré z² + pz + q = 0 avec p² < 4q a les racines complexes z = −p/2 ± j√(q − p²/4) ; un polynôme à coefficients réels a toujours ses racines complexes par paires conjuguées a ± jb.

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.

Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.

Facteur de qualité et bande passante : dans un circuit résonant, Q = 2π·(énergie stockée)/(énergie perdue par cycle). Pour un RLC série, Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) ; pour un RLC parallèle, Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). La bande passante entre les fréquences à mi-puissance f₁ et f₂ (où la puissance est réduite de moitié et le courant ou la tension vaut 1/√2 de son maximum) est BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, soit R/(2πL) en série et 1/(2πRC) en parallèle. La fréquence de résonance est la moyenne géométrique f₀ = √(f₁f₂), et f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Les pertes font aussi décroître l’oscillation : en RLC série, l’amplitude diminue comme e^−Rt/(2L).

Facteur de qualité et bande passante : dans un circuit résonant, Q = 2π·(énergie stockée)/(énergie perdue par cycle). Pour un RLC série, Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) ; pour un RLC parallèle, Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). La bande passante entre les fréquences à mi-puissance f₁ et f₂ (où la puissance est réduite de moitié et le courant ou la tension vaut 1/√2 de son maximum) est BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, soit R/(2πL) en série et 1/(2πRC) en parallèle. La fréquence de résonance est la moyenne géométrique f₀ = √(f₁f₂), et f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Les pertes font aussi décroître l’oscillation : en RLC série, l’amplitude diminue comme e^−Rt/(2L).

Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, V_L = √3·V_ph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, I_L = √3·I_ph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ.

Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, V_L = √3·V_ph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, I_L = √3·I_ph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Chacun des trois condensateurs fournit Q_C/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : V_L dans une batterie en triangle, V_L/√3 dans une batterie en étoile.

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension V_th en série avec une résistance R_th. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant I_N = V_th/R_th en parallèle avec R_th.

Théorème de Thévenin : tout réseau linéaire à deux bornes se comporte comme une seule source de tension V_th en série avec une résistance R_th. Le théorème de Norton donne le même réseau sous forme d’une source de courant I_N = V_th/R_th en parallèle avec R_th.

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ω_c = 1/(RC) ou R/L, et f_c = ω_c/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) et φ = −atan(ω/ω_c). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ω_c : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsation de croisement de phase ω₁₈₀ : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ω_c = 1/(RC) ou R/L, et f_c = ω_c/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) et φ = −atan(ω/ω_c). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ω_c : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsation de croisement de phase ω₁₈₀ : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.