Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Positionnez les bits pour qu’ils représentent −22 en complément à deux sur 8 bits. Lu comme un nombre non signé, quelle est la valeur U du motif ?
Positionnez les bits sur le résultat sur 8 bits de 1100 0010 OR 1101 1000. Quelle est la valeur R du résultat en décimal ?
Quelle formule est logiquement équivalente à (q ∨ r) → p ? Cliquez dessus.
Quel énoncé est équivalent à ¬∃x ∀y R(x, y), la négation étant passée complètement à l’intérieur ? Cliquez dessus.
Utilisez le tableau de Karnaugh pour trouver la forme somme de produits (SOP) minimale de F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15). Combien de littéraux L contient-elle au total (une variable primée compte pour un littéral) ?
Pour F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 8, 12, 15) + d(2, 10), où d marque les états indifférents, trouvez le nombre N d’implicants premiers essentiels.
Trouvez l’inverse de 20 modulo 63 : le nombre x avec 0 < x < 63 et 20·x ≡ 1 (mod 63).
Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 13 et q = 47 et l’exposant public e = 13. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).
Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n/2) + O(1) ?
L'algorithme de programmation dynamique de Held-Karp résout exactement le problème du voyageur de commerce. Quel est son temps d'exécution pour n villes ?
Quelle structure de données un programme en cours d'exécution utilise-t-il pour suivre les appels de fonction actifs et leurs variables locales ?
Quelle garantie les règles des arbres rouge-noir donnent-elles sur la hauteur d'un arbre à n clés ?
Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.
Combien de marches de longueur 3 vont de C à D ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.
Quelle propriété ACID signifie que des transactions concurrentes ne voient pas les modifications inachevées les unes des autres ?
Quand la décomposition de R en R1 et R2 est-elle garantie sans perte ?
En quoi un pare-feu à états (stateful) diffère-t-il d'un simple filtre de paquets ?
En quoi la fragmentation diffère-t-elle en IPv6 par rapport à IPv4 ?
Le réseau 192.168.10.0/24 doit être divisé en au moins 20 sous-réseaux égaux. Si tu empruntes le moins de bits possible, combien d'hôtes utilisables H chaque sous-réseau a-t-il ?
Un hôte a l’adresse 172.20.158.12/18. Quel est le troisième octet x de l’adresse de diffusion de son sous-réseau ?
Réponse: U = 234
Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.
Réponse: R = 218
Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.
OU donne 1 quand au moins un bit vaut 1.
Réponse: (q → p) ∧ (r → p)
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Les colonnes après la barre sont les options dans l’ordre affiché.
Réponse: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.
Les autres options laissent un quantificateur inchangé, changent l’ordre des quantificateurs, ou nient mal la formule intérieure.
Réponse: L = 10
Tableaux de Karnaugh : les cases sont ordonnées en code de Gray (00, 01, 11, 10), donc les cases voisines, y compris celles de part et d’autre des bords, diffèrent par exactement une variable. Regroupez les 1 en rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible et en aussi petit nombre que possible, jusqu’à ce que chaque 1 soit couvert. Chaque groupe est un terme produit : les variables qui restent constantes à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables. Les états indifférents (X) peuvent servir à agrandir les groupes mais n’ont jamais besoin d’être couverts. Regrouper les 0 donne la forme POS minimale.
Chaque groupe est un rectangle de 2ᵏ cases ; les cases de bord sont voisines des cases du bord opposé.
Réponse: N = 3
Tableaux de Karnaugh : les cases sont ordonnées en code de Gray (00, 01, 11, 10), donc les cases voisines, y compris celles de part et d’autre des bords, diffèrent par exactement une variable. Regroupez les 1 en rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible et en aussi petit nombre que possible, jusqu’à ce que chaque 1 soit couvert. Chaque groupe est un terme produit : les variables qui restent constantes à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables. Les états indifférents (X) peuvent servir à agrandir les groupes mais n’ont jamais besoin d’être couverts. Regrouper les 0 donne la forme POS minimale.
Les plus grands groupes pouvant être formés de 1 et de X.
Réponse: 20−1 mod 63 = 41
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Chaque reste r s’écrit r ≡ t·20 (mod 63).
Réponse: d = 85
Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.
Réponse: A · O(n)
Par le théorème maître, nlog₂ 2 = n domine le travail constant, donc T(n) = Θ(n), comme lorsqu'on cherche un maximum en coupant en deux moitiés.
Réponse: A · O(n² 2ⁿ)
Il y a environ n 2ⁿ états, chacun calculé en O(n) ; c'est exponentiel mais bien plus rapide que d'essayer les (n − 1)! tournées possibles.
Réponse: A · La pile d'appels
Chaque appel empile un cadre de pile (stack frame) et chaque retour le dépile, c'est pourquoi l'appel le plus récent se termine en premier.
Réponse: C · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
Chaque chemin contient le même nombre de nœuds noirs et deux nœuds rouges ne peuvent pas être adjacents, donc le plus long chemin fait au plus le double du plus court, ce qui donne une hauteur en O(log n).
Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.
Réponse: N = 3
Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.
Réponse: D · L'isolation
L'isolation sépare les transactions concurrentes ; les niveaux d'isolation déterminent avec quelle rigueur elle est appliquée.
Réponse: D · Quand les attributs communs de R1 et R2 forment une super-clé de R1 ou de R2
Si les attributs partagés déterminent tous les attributs de R1 ou de R2, la jointure redonne exactement les lignes d'origine, sans tuples parasites.
Réponse: D · Il suit les connexions et autorise les réponses appartenant à des sessions établies
Un pare-feu à états tient une table des connexions actives, de sorte que le trafic de retour est autorisé automatiquement. Un filtre sans état juge chaque paquet isolément.
Réponse: A · Les routeurs ne fragmentent jamais les paquets IPv6 ; seule la source le peut, grâce à la découverte du MTU du chemin
Un routeur IPv6 détruit un paquet trop grand et renvoie un message ICMPv6 Packet Too Big. La source envoie alors des paquets plus petits ou utilise un en-tête d'extension de fragmentation.
Réponse: H = 6
Sous-réseaux IPv4 : une adresse a 32 bits. Le préfixe /p indique combien de bits de tête identifient le réseau ; les 32 − p bits restants numérotent les hôtes. Un sous-réseau a 2³²⁻ᵖ adresses, mais la première (adresse réseau) et la dernière (adresse de diffusion) ne peuvent pas être attribuées, il tient donc 2³²⁻ᵖ − 2 hôtes. Exceptions : un /31 (liaison point à point, RFC 3021) utilise ses 2 adresses pour des hôtes, et un /32 est une adresse unique (un seul hôte ou une interface de bouclage).
Réponse: x = 191
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
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