Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Le motif de 8 bits 1100 1110 stocke un entier signé en complément à deux. Quelle est sa valeur N en décimal ?
Positionnez les bits sur le résultat sur 8 bits de 1010 0101 XOR 0101 0010. Quelle est la valeur R du résultat en décimal ?
Vous voulez prouver (b ∧ c) → a par contraposée. Quelle implication prouvez-vous à la place ? Cliquez dessus.
Quel énoncé est équivalent à ¬∀x P(x), la négation étant passée complètement à l’intérieur ? Cliquez dessus.
Utilisez le tableau de Karnaugh pour trouver la forme somme de produits (SOP) minimale de F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 6, 9). Combien de termes produits N a-t-elle ?
Un compteur en anneau de 4 bits Q₃Q₂Q₁Q₀ part de 1001. À chaque front d’horloge, les bits se décalent d’une place vers la droite (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀) et Q₃ reçoit Q₀. Donnez l’état Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ sous forme de nombre décimal après 3 fronts d’horloge.
Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(247), le nombre d’entiers de 1 à 247 premiers avec 247.
47 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 2333615 mod 47.
Que signifie qu'un problème possède une sous-structure optimale ?
Pourquoi toute recherche par comparaisons dans un tableau trié nécessite-t-elle Ω(log n) comparaisons dans le pire cas ?
Qu'est-ce qui est vrai de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté ?
Pour qu'une table de hachage fonctionne correctement, quelle règle le hachage et l'égalité doivent-ils respecter ?
Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K5 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.
Combien de marches de longueur 2 vont de D à E ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.
Un LEFT JOIN renvoie :
Pourquoi de nombreux SGBD utilisent-ils le verrouillage à deux phases strict, en gardant les verrous exclusifs jusqu'à la validation ?
HTTP est sans état. Comment les sites web maintiennent-ils habituellement un utilisateur connecté d'une requête à l'autre ?
D'après la formule de Nyquist, quel est le débit binaire maximal d'un canal de 3 kHz sans bruit utilisant 4 niveaux de signal ?
Le réseau 192.168.244.0/24 est divisé en sous-réseaux /26, numérotés 1, 2, 3, … à partir de l’adresse la plus basse (le sous-réseau 1 commence à .0). Quel est le quatrième octet x de l’adresse réseau du sous-réseau 3 ?
Un hôte a l'adresse 10.20.136.109/27. Quel est le quatrième octet x de son adresse réseau ?
Réponse: N = −50
Systèmes de numération positionnels : chaque chiffre vaut sa valeur multipliée par une puissance de la base. En binaire les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, … ; en hexadécimal 1, 16, 256, …, avec A–F pour 10–15. En complément à deux sur 8 bits, le bit de gauche vaut −128 au lieu de +128 : c'est ainsi qu'on stocke les nombres négatifs.
Les autres bits gardent leurs valeurs positives habituelles.
Réponse: R = 247
Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.
OU exclusif (XOR) donne 1 quand les deux bits diffèrent.
Réponse: ¬a → ¬(b ∧ c)
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La contraposée est équivalente à l’énoncé initial, donc la prouver prouve l’énoncé.
Réponse: ∃x ¬P(x)
Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.
Les autres options laissent un quantificateur inchangé, changent l’ordre des quantificateurs, ou nient mal la formule intérieure.
Réponse: N = 3
Tableaux de Karnaugh : les cases sont ordonnées en code de Gray (00, 01, 11, 10), donc les cases voisines, y compris celles de part et d’autre des bords, diffèrent par exactement une variable. Regroupez les 1 en rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible et en aussi petit nombre que possible, jusqu’à ce que chaque 1 soit couvert. Chaque groupe est un terme produit : les variables qui restent constantes à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables. Les états indifférents (X) peuvent servir à agrandir les groupes mais n’ont jamais besoin d’être couverts. Regrouper les 0 donne la forme POS minimale.
Chaque groupe est un rectangle de 2ᵏ cases ; les cases de bord sont voisines des cases du bord opposé.
Réponse: Q = 3
Bascules et compteurs : une bascule ne change qu’au front actif de l’horloge. D copie son entrée (Q⁺ = D) ; T change d’état quand T = 1 ; JK conserve pour 00, remet à 0 pour 01, met à 1 pour 10 et change d’état pour 11. Un compteur binaire de n bits a 2ⁿ états et compte modulo 2ⁿ ; un compteur modulo N va de 0, 1, …, N − 1 puis revient à 0, et exige le plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N bascules. Chaque étage d’un compteur asynchrone divise la fréquence par deux, donc la dernière sortie d’un compteur modulo N tourne à fclk/N. Un compteur Johnson de n bascules a 2n états, un compteur en anneau n.
Réponse: φ(247) = 216
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Réponse: 2333615 mod 47 = 20
Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.
Réponse: C · Une solution optimale peut être construite à partir de solutions optimales de ses sous-problèmes
La sous-structure optimale est nécessaire pour que les algorithmes gloutons comme la programmation dynamique produisent des réponses correctes.
Réponse: D · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
Chaque comparaison divise au mieux par deux l'ensemble des possibilités restantes ; distinguer n positions nécessite donc au moins log₂ n comparaisons.
Réponse: A · Elle est symétrique par rapport à la diagonale principale
Dans un graphe non orienté, l'arête {u, v} signifie que M[u][v] et M[v][u] sont tous deux renseignés, donc la matrice est égale à sa transposée.
Réponse: C · Des clés égales doivent avoir des valeurs de hachage égales
Si deux clés égales avaient des hachages différents, elles seraient stockées dans des compartiments différents et les recherches échoueraient ; des clés différentes peuvent toutefois partager un hachage.
Réponse: H = 12
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Réponse: N = 1
Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.
Réponse: B · Toutes les lignes de la table de gauche et les lignes correspondantes de droite, avec des NULL en l'absence de correspondance
Une jointure externe gauche conserve chaque ligne de gauche ; les colonnes de droite sans correspondance sont remplies avec NULL.
Réponse: B · Il empêche les annulations en cascade, car personne ne peut lire des écritures non validées
Le 2PL de base garantit la sérialisabilité, mais libérer tôt les verrous d'écriture pourrait permettre à d'autres de lire des données ensuite annulées ; le 2PL strict évite cela.
Réponse: A · Avec des cookies contenant un identifiant de session ou un jeton
Le serveur définit un cookie contenant un identifiant de session ou un jeton, et le navigateur le renvoie à chaque requête pour que le serveur reconnaisse l'utilisateur.
Réponse: C · 12 kbit/s
2 × 3000 × log₂ 4 = 2 × 3000 × 2 = 12000 bit/s. Davantage de niveaux augmentent le débit, mais le bruit limite le nombre de niveaux que l'on peut distinguer.
Réponse: x = 128
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
Réponse: x = 96
Sous-réseaux IPv4 : une adresse a 32 bits. Le préfixe /p indique combien de bits de tête identifient le réseau ; les 32 − p bits restants numérotent les hôtes. Un sous-réseau a 2³²⁻ᵖ adresses, mais la première (adresse réseau) et la dernière (adresse de diffusion) ne peuvent pas être attribuées, il tient donc 2³²⁻ᵖ − 2 hôtes. Exceptions : un /31 (liaison point à point, RFC 3021) utilise ses 2 adresses pour des hôtes, et un /32 est une adresse unique (un seul hôte ou une interface de bouclage).
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