Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 20 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Positionnez les bits pour qu’ils représentent −45 en complément à deux sur 8 bits. Lu comme un nombre non signé, quelle est la valeur U du motif ?
Positionnez les bits sur le résultat sur 8 bits de 1101 0100 AND 1011 1011. Quelle est la valeur R du résultat en décimal ?
Vous voulez prouver r → (q ∨ p) par contraposée. Quelle implication prouvez-vous à la place ? Cliquez dessus.
Quel énoncé est équivalent à ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), la négation étant passée complètement à l’intérieur ? Cliquez dessus.
Utilisez le tableau de Karnaugh pour trouver la forme somme de produits (SOP) minimale de F(A, B, C) = Σm(0, 1, 4, 7). Combien de termes produits N a-t-elle ?
Un compteur binaire décroissant de 4 bits part de 7 (décimal, Q = 0111). Quelle valeur Q (en décimal) affiche-t-il après 43 impulsions d’horloge ?
Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 6 (mod 9) et x ≡ 5 (mod 11).
Chiffre le message m = 357 avec la clé publique RSA (n, e) = (1363, 3). Trouvez le chiffré c.
Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n − 1) + O(1) ?
La multiplication de Karatsuba vérifie T(n) = 3T(n/2) + O(n). Quelle en est la solution ?
Pourquoi un tas binaire peut-il être stocké dans un tableau sans aucun pointeur ?
Quelle structure permet de calculer le maximum de chaque fenêtre de taille k dans un tableau en O(n) au total ?
Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K5 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.
Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.
La table a compte 3 lignes et la table b 4 lignes. Combien de lignes SELECT * FROM a CROSS JOIN b renvoie-t-il ?
Quelle fonction de fenêtrage attribue 1, 2, 3, ... aux lignes de chaque partition, sans ex æquo ?
En quoi un pare-feu à états (stateful) diffère-t-il d'un simple filtre de paquets ?
Que fait la retransmission rapide (fast retransmit) de TCP ?
Le réseau 192.168.10.0/24 doit être divisé en au moins 20 sous-réseaux égaux. Si tu empruntes le moins de bits possible, combien d'hôtes utilisables H chaque sous-réseau a-t-il ?
Un hôte a l'adresse 10.20.211.92/27. Quel est le dernier nombre (quatrième octet) x de l'adresse de diffusion de son sous-réseau ?
Réponse: U = 211
Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.
Réponse: R = 144
Positionner les bits : chaque bit vaut une puissance de deux (128, 64, …, 1). Un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits, et en complément à deux sur 8 bits, le bit le plus à gauche vaut −128. Les opérations bit à bit s’appliquent séparément à chaque position de bit.
ET donne 1 seulement quand les deux bits valent 1.
Réponse: ¬(q ∨ p) → ¬r
Équivalence logique : deux formules sont équivalentes (≡) quand elles ont la même valeur dans chaque ligne de la table de vérité. Une tautologie vaut 1 dans toutes les lignes, une contradiction 0 dans toutes les lignes, et une contingence n’est ni l’une ni l’autre. Lois utiles : De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b et ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b ; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contraposée) ; ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b ; et les lois de distributivité, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
La contraposée est équivalente à l’énoncé initial, donc la prouver prouve l’énoncé.
Réponse: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
Quantificateurs et raisonnements : ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) et ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Faites passer une négation vers l’intérieur, échangez chaque quantificateur qu’elle traverse, et niez la formule intérieure avec les lois propositionnelles, comme ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Un raisonnement est valide quand la conclusion vaut 1 dans toutes les lignes où toutes les prémisses valent 1. Une seule ligne avec des prémisses vraies et une conclusion fausse est un contre-exemple et montre que le raisonnement est invalide.
Les autres options laissent un quantificateur inchangé, changent l’ordre des quantificateurs, ou nient mal la formule intérieure.
Réponse: N = 3
Tableaux de Karnaugh : les cases sont ordonnées en code de Gray (00, 01, 11, 10), donc les cases voisines, y compris celles de part et d’autre des bords, diffèrent par exactement une variable. Regroupez les 1 en rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases, aussi grands que possible et en aussi petit nombre que possible, jusqu’à ce que chaque 1 soit couvert. Chaque groupe est un terme produit : les variables qui restent constantes à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables. Les états indifférents (X) peuvent servir à agrandir les groupes mais n’ont jamais besoin d’être couverts. Regrouper les 0 donne la forme POS minimale.
Chaque groupe est un rectangle de 2ᵏ cases ; les cases de bord sont voisines des cases du bord opposé.
Réponse: Q = 12
Bascules et compteurs : une bascule ne change qu’au front actif de l’horloge. D copie son entrée (Q⁺ = D) ; T change d’état quand T = 1 ; JK conserve pour 00, remet à 0 pour 01, met à 1 pour 10 et change d’état pour 11. Un compteur binaire de n bits a 2ⁿ états et compte modulo 2ⁿ ; un compteur modulo N va de 0, 1, …, N − 1 puis revient à 0, et exige le plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N bascules. Chaque étage d’un compteur asynchrone divise la fréquence par deux, donc la dernière sortie d’un compteur modulo N tourne à fclk/N. Un compteur Johnson de n bascules a 2n états, un compteur en anneau n.
Toutes les 16 impulsions ramènent le compteur au même état.
Réponse: x = 60
Inverses et congruences : a a un inverse modulo n exactement quand pgcd(a, n) = 1. L’algorithme d’Euclide étendu écrit 1 = s·n + t·a, et alors a⁻¹ ≡ t (mod n). Une congruence a·x ≡ b (mod n) avec pgcd(a, n) = 1 a pour solution x ≡ a⁻¹·b. Deux congruences x ≡ r₁ (mod m₁) et x ≡ r₂ (mod m₂) à modules premiers entre eux ont une solution modulo m₁·m₂ (théorème des restes chinois). L’indicatrice d’Euler φ(n) compte les nombres de 1 à n premiers avec n : φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Réponse: c = 990
Puissances modulaires et RSA : calculez aᵏ mod n par carrés répétés : écrivez k en binaire, élevez au carré, réduisez après chaque étape et multipliez les puissances dont le bit vaut 1. Fermat : aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pour un nombre premier p ne divisant pas a, donc l’exposant peut être réduit modulo p − 1. RSA : choisissez des nombres premiers p et q, n = p·q et φ(n) = (p − 1)(q − 1) ; l’exposant public e est premier avec φ(n), et l’exposant privé est d = e⁻¹ mod φ(n). Chiffre avec c = mᵉ mod n et déchiffrez avec m = cᵈ mod n.
Réponse: A · O(n)
Il y a n niveaux avec un travail constant chacun, comme pour la somme récursive d'un tableau.
Réponse: B · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
Comme log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, les feuilles dominent d'après le théorème maître, ce qui bat la méthode scolaire en O(n²).
Réponse: C · C'est un arbre binaire complet, donc les positions suivent des formules d'indice simples
La complétude signifie qu'il n'y a pas de trous, donc les enfants de l'indice i sont toujours en 2i + 1 et 2i + 2.
Réponse: B · Un deque contenant des indices par ordre décroissant de valeur
L'avant du deque est toujours le maximum de la fenêtre ; chaque indice entre et sort du deque une seule fois, donc le travail est linéaire.
Réponse: H = 12
Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.
Réponse: d(F) = 21
Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.
Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.
Réponse: D · 12
Une jointure croisée donne le produit cartésien, 3 × 4 = 12 lignes.
Réponse: C · ROW_NUMBER()
ROW_NUMBER attribue des numéros séquentiels uniques ; RANK laisse des trous après les ex æquo ; DENSE_RANK non.
Réponse: A · Il suit les connexions et autorise les réponses appartenant à des sessions établies
Un pare-feu à états tient une table des connexions actives, de sorte que le trafic de retour est autorisé automatiquement. Un filtre sans état juge chaque paquet isolément.
Réponse: D · Elle renvoie un segment après trois ACK dupliqués, sans attendre l'expiration du délai
Trois ACK dupliqués indiquent fortement la perte d'un seul segment, que TCP retransmet donc aussitôt. La récupération est bien plus rapide qu'en attendant le temporisateur de retransmission.
Réponse: H = 6
Sous-réseaux IPv4 : une adresse a 32 bits. Le préfixe /p indique combien de bits de tête identifient le réseau ; les 32 − p bits restants numérotent les hôtes. Un sous-réseau a 2³²⁻ᵖ adresses, mais la première (adresse réseau) et la dernière (adresse de diffusion) ne peuvent pas être attribuées, il tient donc 2³²⁻ᵖ − 2 hôtes. Exceptions : un /31 (liaison point à point, RFC 3021) utilise ses 2 adresses pour des hôtes, et un /32 est une adresse unique (un seul hôte ou une interface de bouclage).
Réponse: x = 95
Sous-réseaux IPv4 : une adresse a 32 bits. Le préfixe /p indique combien de bits de tête identifient le réseau ; les 32 − p bits restants numérotent les hôtes. Un sous-réseau a 2³²⁻ᵖ adresses, mais la première (adresse réseau) et la dernière (adresse de diffusion) ne peuvent pas être attribuées, il tient donc 2³²⁻ᵖ − 2 hôtes. Exceptions : un /31 (liaison point à point, RFC 3021) utilise ses 2 adresses pour des hôtes, et un /32 est une adresse unique (un seul hôte ou une interface de bouclage).
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